Bonjour, je suis en 1ère ES et j'aurais besoin d'aide pour un DM de maths dont voici l'énoncé.
(Je met entre « », les vecteurs)
Dans un plan muni d’un repère orthonormal (O, i, j), on considère la droite D d’équation 3x – 2y + 1 = 0 et le point A (2 ; 1).
a) Tracer la droite D et placer le point A.
b) Déterminer une équation de la droite D’ passant par A et perpendiculaire à D.
c) Calculer les coordonnés du point H, projeté orthogonal du point A sur la droite D.
d) En déduire la longueur AH, appelée distance du point A à la droite D.
A. Cas général
D est la droite passant par le point B et admettant n pour vecteur normal.
Soit A un point quelconque du plan.
On cherche à déterminer la distance du point A à la droite D, c’est-à-dire la longueur AH, où H est le projeté orthogonal de A sur la droite D.
a) Justifier l’égalité « BA ». « n » = « HA ». « n »
b) Montrer alors que la distance cherchée est donnée par l’égalité d = (| « BA ». « n »|) / || « n »||
- Applications numériques
Le plan est muni d’un repère orthonormal.
a) Déterminer la distance du point A(5 ;6) à la droite d’équation 3x + y + 1 = 0.
b) Dans le triangle EFG, avec E(2 ;0), F(-1 ;1) et G(3 ;4), déterminer la longueur de la hauteur issue de E, puis l’aire de ce triangle.
B.Expression analytique
On conserve les notations ci-dessus, en supposant, de plus, que ax + by + c = 0 est une équation de D, dans le repère orthogonal (O, i, j).
On choisit pour vecteur normal à D, le vecteur « n »(a-b)
a) Calculer || « n »|| en fonction de a et b.
b) On pose A(xa ;ya) et B(xb ;yb) sachant que B est un point de D.
Démontrer que l’on a | « BA ». « n »| = | a(xa) + b(ya) + c| .
c) En déduire la relation d = [ |a(xa) + b(ya) + c | ] / (racine de a² + b²)
- Application numérique : Démontrer que le point A(1 ;1) est le centre du cercle inscrit dans le triangle XOY, où X(2+racine de2 ;0) et Y(0 ;2+racine de2).
Je veux bien sûr de l'aide mais je ne veut pas qu'on me donne directement les réponses, ca serait de la triche.
J'ai commencé à répondre au a), et au b)
en utilisant un théorème : Si ax + by + c = 0 est une équation cartésienne de la droite D, alors le vecteur de coordonnées (-b,a) est un vecteur directeur de la droite D.
Ainsi, le vecteur normal de D est (3,-2). Or, ce vecteur normal est vecteur directeur de D' ; ainsi, j'utilise le théorème et j'obtiens -2x-3y+c=0.
Ai-je bon pour l'instant ?
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Envoyé par radigou 