identification d'un groupe

[0577]

Bonjour,

le groupe G de presentation

(ou 1 est l'element neutre) peut-il etre facilement identifie ?
Je crois que G est fini. En tout cas il a au moins 9 elements car
il admet pour quotient un produit de deux groupes cycliques d'ordre 3.
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[invite76543456789]

Bonjour,
Pourquoi penses tu qu'il est fini?
En partculier je vois pas de raison simple pour que x²y soit de torsion, vu que y et x² ne peuvent commuter (j'ai plus l'exemple en tete mais je suis a peu pres convaincu qu'il existe des groupes non commutatifs de 3 torsion).

[invite76543456789]

Bon en regardant des groupes simples j'arrive pas a en trouver qui ont des elements qui ne soient pas de torsion, on peut regarder le sous groupe de GL_3 engendré par les matrices , qui est un quotient du groupe qu'on cherche (ca te donne une minoration de l'ordre de ton truc) ou des variantes de ce truc là mais j'arrive jamais a trouver un groupe non fini.

[Seirios]

Bonsoir,

Le groupe en question a une interprétation géométrique dans le plan euclidien qui est assez pratique : http://en.wikipedia.org/wiki/Triangl...on_Dyck_groups. En particulier, le groupe est en fait infini.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Par curiosité, comment as-tu rencontré ce groupe ?

[0577]

Bonjour,

merci beaucoup pour vos reponses, en effet j'avais fait une erreur, ce groupe n'est pas fini ...

Une maniere rapide de dire comment j'ai rencontre ce groupe est de dire qu'il s'agit de la generalisation la
plus simple possible (pour une idee de generalisation donnee...) des groupes de symetrie des polyedres reguliers.
Avec les notations du lien wikipedia, les groupes d'isometries preservant l'orientation des polyedres reguliers sont
D(2,3,3), D(2,3,4) et D(2,3,5). Si on ajoute les groupes diedraux, on obtient ainsi tous les D(l,m,m) tels que 1/l+1/m+1/m >1.
G est l'exemple le plus simple avec 1/l+1/m+1/n = 1.

En fait, de maniere plus precise, mon point de depart etait : soit G un sous-groupe fini de SO(3) (i.e un groupe cyclique ou un groupe
diedral ou un groupe d'isometries preservant l'orientation d'un polyedre regulier). G agit sur la sphere unite de R^3. Quel est le quotient
de R^3 par G ? Reponse : c'est encore une sphere ! (en particulier il n'y a pas de singularite bien que l'action ait des points fixes).
Maintenant, je change un peu de point de vue, je vois la sphere comme la droite projective complexe P^{1}.

La construction precedente donne pour chaque G un revetement fini galoisien de groupe de Galois G de P^{1} par P^{1} qui en fait est ramifie en au plus
trois points. Le groupe fondamental de P^{1} prive de trois points est le groupe libre sur deux generateurs. En particulier, le groupe de Galois d'un revetement fini galoisien de P^{1} ramifie en au plus trois points dont les indices de ramification sont l,m,n est un quotient de D(l,m,n). Une condition necessaire pour que ce
revetement soit de genre 0 (i.e un P^{1}) est (par Riemann-Hurwitz) 1/l+1/m+1/n>0.
Au final, on obtient : les sous-groupes finis de SO(3) sont exactement les groupes de Galois de revetement fini galoisien de P^{1} par P^{1} ramifie en au plus trois points. En essayant de generaliser a des revetements de genre >0, on tombe tout de suite sur les groupes D(l,m,n) generaux.