Fonction annulant deux fonctionnelles

[invite778a547f]

Bonjour à tous,
Je cherche un exemple de fonction f non triviale définie sur R+ (et continue sur au moins un ouvert non vide de R+) à valeurs dans R telle que son intégrale sur R+ soit nulle et que l'intégrale de f(x)*sqrt(x) sur R+ soit aussi nulle...
J'ai essayé avec quelques exemples simples mais à chaque fois les conditions imposent que ces exemples se réduisent à la fonction nulle...

Par avance merci pour l'aide que vous saurez m'apporter.
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[Seirios]

Bonsoir,

Je n'ai pas mené l'argument jusqu'au bout, mais peut-être que cela pourra t'aider :

On se donne trois fonctions , et dans . Connaissant une base de cet espace de Hilbert (les polynômes trigonométriques), on peut trouver trois fonctions orthogonales , et grâce à l'orthogonalisation de Gram-Schmidt telles que . Dans ce cas, la fonction devrait convenir en la prolongeant sur par 0.

[invite778a547f]

Merci pour le coup de main Seirios,

Il a fallu que je m'y reprenne à plusieurs fois (c'est fou ce que l'on peut oublier comme techniques mathématiques en quelques années...) mais j'ai réussi à construire un exemple de fonction répondant à mes critères...Je n'avait pas pensé à considérer le problème comme une annulation de deux produits scalaires, je le considérait comme l'annulation conjointe de deux fonctionnelles...comme quoi un point de vue nouveau résout souvent les problème .

Bref, pour information, en utilisant Gram-Schmidt à partir de x -> x on obtient x -> x - 6*sqrt(x)/5 + 3/10, fonction qui est orthogonale aux deux vecteurs orthonormés x -> 1 et x -> 3*sqrt(2)*(sqrt(x) - 2/3) qui génèrent Vect(x -> 1,x -> sqrt(x)).

Encore merci Seirios !