endomorphisme annulant un polynôme

[inviteb9bcf6ad]

Bonjour, je bloque sur un exercice :

On considere le polynome du second degé suivant, dans lequel r₁ different de r₂ :
P(X) = X² - sX + p = (X-r₁)(X-r₂)

On suppose que f est un endomorphisme de E tel que f² - sf + p = 0

Je dois determiner les homotheties f = k.Id_E verifiant f² - sf + p = 0

j'ai remplacé f dans l'equation mais ca donne rien de concluant, j'ai aussi resolu l'equation pour avoir une expression de f et la comparer mais ca donne rien non plus

Merci
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[invite6de5f0ac]

Bonjour,

Si f est une homothétie (f = k.Id) alors f² - s.f + p s'exprime immédiatement, il faut juste interpréter p comme p.Id.

-- françois

[inviteb9bcf6ad]

je trouve :

f = ( (s-(Id-4p)^1/2) / 2 ).Id ou f = ( (s+(Id-4p)^1/2) / 2 ).Id

Je suis sur la bonne voie ?

[invite57a1e779]

je trouve :

f = ( (s-(Id-4p)^1/2) / 2 ).Id ou f = ( (s+(Id-4p)^1/2) / 2 ).Id

Je suis sur la bonne voie ?

Il y a de cela, mais cela me gêne que représente auusi bien un réel que l'homothétie de rapport .

En principe, si , on s'intéresse aux endomorphismes tels que .

Je pense que, dans ta réponse, il faudrait faire intervenir les racines et de .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6de5f0ac]

Il y a de cela, mais cela me gêne que représente auusi bien un réel que l'homothétie de rapport .

Je suis d'accord, ce n'est pas très propre. Mais c'est usuel, si on considère que:

P(X) = X² - sX + p

veut dire en fait

P(X) = X² - sX¹ + pX⁰

alors ça se conçoit...

-- françois

[inviteb9bcf6ad]

d'accord je vais remplacer p par r₁r₂ et s par r₁ + r₂

je vous remerci