fonction ln

[kaderben]

Bonjour
Voici un exo terminale S
f(x)=x²ln(1+x)-x sur ]-1;oo[
Pour cette première partie on montre que f'(x)=0 admet une solution unique notée b sur [0;oo[, pas de problème

On considère la fonction g(u)=2ln(u)+1-1/u-1/(u-1) sur ]0;1[
On montre que g(u)=0 admet une solution unique sur ]0;1[, pas de problème
Montrer que f'(u-1)=(u-1)g(u) pas de problème

En déduire que f'(x)=0 admet une solution unique sur ]-1;0[
Là je ne suis pas sûr de cette rédaction:
u dans ]0;1[ donc (u-1) dans ]-1;0[, ce qui donne f'(x)=xg(x+1)
f'(x)=0 donne xg(x+1)=0 mais xdifférent de 0 alors g(x+1)=0
comme g(u)=0 alors g(x+1)=0 c'est à dire f'(x)=0 admet une solution unique sur ]-1;0[

Merci pour vos commentaires
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[gg0]

C'est assez confus, je n'arrive pas à suivre !

Il te suffit de poser explicitement (donc le dire) que u est tel que x=u-1
Le système f'(x) = 0 et -1<x<1 donne le système f'(u-1) = 0 et 0<u<1
soit encore (u-1)g(u)=0 et 0<u<1
Comme u-1 ne s'annule pas on a à résoudre g(u)=0 et 0<u<1 dont on sait qu'il a une solution unique.

Cordialement.