correctio d'un exo sur différentiabilité

[invite4680bd1a]

Salut à tous,
Voià j'ai un exo et je ne suis pas tout à fait sur de ma réponse

dans la partie 1 on nous demande: Que dire de la continuité de la fonction a(x,y)=(|x|y)/(x²+y²) peut on la prolongé par continuité
j'ai mis qu'elle est continu sur R² privé de (0,0) par produit somme et quotient.
Cependant il n'y a pas de limite en 0 (j'ai exibé avec 2 courbes x=0 puis x=y)

Dans la partie 2 on a f(x,y)=(|x|y)/racine(x²+y²) lorsque (x,y)est différent du couple (0,0) et f(0,0)=0
a) idem, que dire de la continuité de f ,particulièrement en (0,0)
La f est bien continu en (0,0).
b)f admet elle des dérivés partielles en (0,0)? si oui les calculer
J'ai mis que f étant C0 sur R², elle admet des dérivés partielle sur cette intervalle
et df/dx (0,0)=0=df/dy(0,0)

c) Montrer en utilisant la définition de la différentiabilité que f n'est pas différentiable en (0,0)
Donc la j'ai mis que si f état différentiable en (0,0) alors on aurait
f(x,y)=f(0,0)+df/dx (0,0)+df/dy(0,0)+racine(x,y)p(x,y) avec p(x,y)=0 quand (x,y) tend vers (0,0)
f(x,y)=0+0+0+racine(x,y)p(x,y) avec p(x,y)=0 quand (x,y) tend vers (0,0)

et donc j'ai dis que p(x,y)=f(x,y)/racine(x,y)=a(x,y) or a(x,y) n'est pas continu en (0,0) donc a(x,y) ne tend pas vers (0,0) donc f n'est pas différentiable en (0,0)

Est ce juste? irréprochable?

et une autre question, que signifie f est différentiable sur R²/(0,0) celà a t-il un sens??

Merci
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[gg0]

Bonsoir.

je ne comprends pas :
"f étant C0 sur R², elle admet des dérivés partielle sur cette intervalle
et df/dx (0,0)=0=df/dy(0,0)"

C0 veut dire continu, d'où sort la dérivabilité ? Il y a des fonctions continues non dérivables. A noter R² n'est pas un intervalle.

Donc à reprendre.

Cordialement.

[invite4680bd1a]

Euh oui je suis allé un peu vite en effet il faudrai plutot dire F est C0 sur R² . De plus elle est dérivable sur R²/(0,0) (je ne sais pas trop ce qu'il faut dire en faite)
et en (0,0);f admet des dérivés partielles si
lim ((f(x,y0)-f(x0,y0))/(x-x0) quand x tend vers 0 (réciproquement avec y) existe et est fini avec (x0,y0)=(0,0).

df/dx(0,0)= lim ((f(x,y0)-f(x0,y0))/(x-x0)=0 et de la même façon pour df/dy(0,0) qui après calcule faut aussi 0


Merci de votre réponse

[gg0]

Dans ton énoncé, on ne s'intéresse aux dérivées partielles qu'en (0,0). Donc inutile de parler d'ailleurs pour l'instant.
Pour la dérivée partielle par rapport à x, y est une constante. Et comme on est en (0,0), cette constante est 0. Donc tu t'intéresse à la dérivabilité de f(x,0) complétée par continuité en 0. C'est-y pas plus simple ??

Bon travail !

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