racine primitive modulo n

[invitec154b59a]

Bonjour, je fais l'exercice de maths suivant :

n est premier, Z/nZ*=Z/nZ privé de {0barre}
1) Déterminer les racines primitives modulo 7
2) Montrer qu'un entier x est une racine primitive mod n ssi : (Z/nZ)*={xbarre,xbarre²,...,xbarr e(n-1)}
3) Démontrer que 2 est racine primitive mod 197
4) Résoudre x^5=1(197) et x^7=1(197)
5) Combien l'équation suivante possède de solutions dans [0,196] : x^m=1(197) où m appartient à N* ?

Voici ce que j'ai fait :
1) J'ai essaye de les trouver en cherchant l'ordre des entiers modulo 7 (que j'ai trouvé), mais en fait je ne sais pas vraiment comment faire ...
2) Pour cette question je ne sais pas du tout comment m'y prendre aussi ...
3)Je pense qu'il faut utiliser la décomposition en facteurs premiers de n-1 pour chercher l'ordre mod 197, mais apres je n'y arrive pas non plus
4)Je pense qu'on doit se servir de la 3)
5)Aussi je crois

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Merci d'avance
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[0577]

Bonjour,

quelle est ta definition de racine primitive modulo n ?
(je pose la question car pour moi la question 2 est presque la definition ...)

[invitec154b59a]

Bonjour,
Ma définition c'est : un entier x est appelé racine primitive modulo n s'il est d'ordre n-1 modulo n

[Seirios]

Bonjour,

Cela revient à montrer que x est un générateur. Que sais-tu des générateurs de ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec154b59a]

Bonjour,
Je sais juste ce qu'est le générateur d'un groupe monogène g, tout élément x de G tel que G=(x)

[Seirios]

Tu peux montrer que dans un groupe, l'ordre d'un élément x correspond à l'ordre de <x>.

[invitec154b59a]

D'accord j'essaie de le montrer alors

[invitec154b59a]

En fait je ne sais pas comment montrer que x correspond à <x> ...

[invitec154b59a]

Parce que avant j'ai démontré que l' application f : Z -> (Z/nZ*,*) et qui à k associe (xbarre)^k était un morphisme de groupe (avec x d'ordre r mod n) et j'ai toruvé son noyau aussi, est ce qu'on peut s'en servir ici ?

[invitec154b59a]

Est ce que pour la 3), je peux juste utiliser le petit théorème de Fermat en disant : 2^196=1(197) ?

[invite70417fb2]

Bonjour,
Il est toujours surprenant lorsque l'on est professeur du supérieur de retrouver ses exercices sur internet alors que ceux-ci ont été inventés ou très largement modifiés, surtout lorsque la coïncidence se reproduit plusieurs fois pour un même pseudonyme, et à chaque fois lorsque je donne ce travail à mes élèves. Je te prierai d'arrêter immédiatement de "pomper" outrageusement les corrections des devoirs maisons, ce n'est pas cela qui t'aidera en devoir ou en concours.
Cordailement,
Arnaud Basson