Changement de variable et calcul de primitives

[invite65bd5332]

Bonjour,

Voilà : je suis en MPSI et je voulais calculer la primitive


Dans le cours, nous l'avons calculé avec un changement de variable à partir de l'exponentielle, mais lorsque j'ai essayé de la faire, j'ai voulu testé avec pour changement de variable x=arcsh(t).
J'ai ainsi dit :

et en posant
,
(arcsh est C¹ et bijective)
je pouvais en déduire :



En injectant dans I, on a ainsi :

On simplifie :

Bon on arrive déjà ici à un petit problème : on aurait :


Je pense donc qu'il y a une petite erreur , et je la soupsonne lors du calcul de dx...

D'ailleurs si on continue, on trouve I = arctan(sh(x)), ce qui est n'est pas ce qu'on a trouvé dans le cours...

Pourriez vous s'il vous plaît éclairer ma lanterne ?

Merci d'avance,

Tobias.
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[gg0]

Bonjour.

Je ne vois pas le petit problème, tu as l'air d'oublier que tu as fait un changement de variable pour obtenir :
et que si tu veux réintroduire t=sh(x) il faut aussi modifier le dt.

"si on continue, on trouve I = arctan(sh(x)), ce qui est n'est pas ce qu'on a trouvé dans le cours..."

Oui, et alors ? Tu as calculé une autre primitive ! D'ailleurs on ne trouve pas ça, mais I = arctan(sh(x)) +C où C est une constante arbitraire.

Tu as deux primitives, elles sont donc égales à une constante près. Il te suffit de trouver la valeur de cette constante pour avoir une nouvelle formule.

Cordialement.

[inviteddf96a83]

pourquoi ne pas simplement écrire ch sous sa forme exponentielle ?

[invite65bd5332]

Merci pour ta réponse !

Que suis-je bête ! J'avais en effet oublié d'appliquer le changement de variable en remontant, et lorsque j'ai essayé de comparer mes deux résultats finaux, lorsque j'ai vu qu'ils étaient différents, je me suis arrêté, sans penser à cette constante... Et en effet lorsque l'on trace le graph, les fonctions sont identiques à une constante prêt !


Merci !

--EDIT--
aurelienbis : Je l'ai fait aussi, mais je voulais essayer de continuer avec ma première intuition qui était de poser x=arcsh(t) (l'exponentielle ne m'est pas venu spontanément). Ça m'énervait de ne pas voir où je m'étais trompé (et vu que ce n'était pas les calculs mais dans l'interprétation, je pouvais encore chercher !), et il est très formateur de comprendre ses erreurs (plus que d'apprendre une démo par cœur).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite65bd5332]

Et y a-t'il un moyen d'éditer son premier message pour passer le sujet en résolu ?