Probas et statistiques

[invite833f1046]

Bonjour/Bonsoir!

Je suis en train d’étudier l’Échantillonnage et les probas et je coince sur un problème dont l’énoncé est le suivant:

Soit F la proportion des étudiants possédant une voiture:

Étudiants possédants une voiture: 32 hommes et 26 femmes
Étudiants ne possédants pas de voiture: 64 gomme et 78 femmes
Totaux: 96 hommes et 104 femmes

1) Quelle est la probabilité pour que la proportion d’étudiants masculins (noté p1) soit
supérieure à 40%

Il y a 200 étudiants dont 104 femmes soit 52%
P(% des homme > 40%) = et la je bloque

2) Quelle est la probabilité pour que la proportion d’étudiantes possédant une voiture
soit supérieure à 33%

Si je comprends comment faire la 1ere question, je pense que ça ira pour celle ci

3) Déterminer la probabilité pour que la proportion d’étudiants masculins possédant une
voiture soit supérieure à la proportion d’étudiantes possédant une voiture.


Je ne demande pas a ce que quelqu’un me fasse l'exercice, mais m'aide a trouver la loi et la démarche a suivre pour le résoudre.

Merci d'avance aux matheux
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[gg0]

Bonsoir.

Je ne comprends pas ton énoncé. C'est quoi ces 200 étudiant ? La population étudiante étuduée ou un échantillon ? Si c'est un échantillon, est-il pris au hasard ?

Dans les deux cas, la question 1 n'a pas de sens : Dans le premier cas, il n'y a rien d'aléatoire. Dans le deuxième cas, l'échantillon est aléatoire, mais le fait que la proportion des étudiants possédant une voiture soit ou non supérieur à 40% n'est pas aléatoire. "La proportion des étudiants possédant une voiture dépasse 40%" est une phrase soit vraie, soit fausse, mais qui ne dépend pas d'un tirage d'échantillon.

On peut donner une signification (tarabiscotée) au calcul idiot que veut te faire faire ton prof, mais comme ce n'est pas ce à quoi il pense ...

Désolé, mais l'exercice n'a pas de sens.

Cordialement.

[Amanuensis]

Il manque juste "possédant une voiture" dans la question 1, avec une grande vraisemblance, vu le contexte indiqué.

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@Krist-I,

Bienvenu sur le forum,

La formule de Bayes est la clé de ce genre de question. Vous prenez la valeur de p1 comme une variable aléatoire, avec sa loi de probabilité. Vous calculez la p(résultat du sondage | p1>40%), et vous appliquez la formule de Bayes.

Le calcul va demander un prior. Ici se sera que l’échantillonnage est 'aléatoire', un tirage sans remise dans une population infinie d'hommes dont une proportion p1 possède une voiture, et que p1 est (avant la connaissance du résultat du sondage) de probabilité uniforme sur 0-100.

[invite833f1046]

La partie en gras est ma réflexion personnelle. Ces 200 étudiants sont bien un échantillon, pris aléatoirement je suppose (pas précisé). J'avoue qu'en recherchant sur internet, je n'ai pas trouve d'exemple similaire ou de loi pouvant répondre a mon problème.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Alors voici comment on pourrait imaginer la situation :

On suppose l'existence d'une grande quantité de populations dans lesquelles la proportion p1 varie (par exemple de 0 à 100%, de 1% en 1%). On a choisi au hasard une de ces populations, puis au hasard un échantillon de 200 individus de cette population. Connaissant la répartition 96/104 entre hommes et femmes, quelle est la probabilité que le tirage ait été fait dans une des populations où p1>40%.

A noter : l'hypothèse "la proportion p1 varie" peut être traitée de nombreuses façons (par exemple une variation entre 25 et 75 % est plus réaliste) qui vont modifier la réponse

Cette formulation n'est qu'une interprétation d'un énoncé qui ne dit pas ça. Je ne sais pas d'où sort cet énoncé, mais il est dans la lignée des plus mauvais énoncés "bayésiens" (dans le sens ancien et non mathématique du mot).

Cordialement.

[Amanuensis]

Je pense, pour répéter mon message, qu'il est plus vraisemblable que la question 1 soit une version erronée de

1) Quelle est la probabilité pour que la proportion d’étudiants masculins possédant une voiture (noté p1) soit supérieure à 40%

(C'est à dire p1 est le rapport entre le nombre d'hommes possédant une voiture et le nombre total d'hommes.)

Cela en fait (ainsi qu'avec les autres questions) un énoncé classique sur la notion d'échantillon.


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Par ailleurs, comme les questions 2 et 3 sont indépendantes de la 1, quelle qu'en soit l'interprétation, je proposerais à Krist-I de s'occuper de ces questions là d'abord.

[invite833f1046]

Je vous remercie pour votre aide. Je vais essayer de m'en sortir avec les formules de Bayes.

Bien cordialement.

[gg0]

Amanuensis,

quelle est l'épreuve aléatoire que subit la probabilité p1 ? Ou encore, quel univers, muni de quelle loi contient une variable aléatoire p1 ?

C'est une erreur classique dans l'interprétation des intervalles de confiance, que de croire qu'on trouve un intervalle dans lequel la vraie valeur a 95% de chances d'être. C'est en fait un peu plus subtil, et on appelle confiance à 95% le fait que avant le tirage de l'échantillon, il y a 95% de chances pour que l'intervalle (aléatoire) qu'on obtiendra contienne la bonne valeur. mais la bonne valeur ne dépend pas du tirage, ni n'est aléatoire. Ce qui est une variable aléatoire, c'est l'intervalle qu'on obtient dans le tirage.

Cordialement.

[Amanuensis]

À quel texte réagissez-vous, exactement ?

[Par ailleurs, vos commentaires apparaissent profondément "fréquentistes" ; si c'est bien le cas, difficile voire impossible de répondre à la question avec une perspective bayésienne, car alors le sens même de la question pose problème.]

[gg0]

Au votre (je vouvoie, puisque vous vouvoyez - moi je n'y tiens absolument pas) :
"Quelle est la probabilité pour que la proportion d’étudiants masculins possédant une voiture (noté p1) soit supérieure à 40%"

je n'ai interprété comme "p1 est la proportion d'étudiants masculins possédant une voiture dans la population globale". Mais ça n'a aucune importance, la seule chose qui compte est qu'on ne calcule pas de probabilités sur des événements déterministes. Ce serait la porte ouverte à des erreurs classiques, connues (la "probabilité qu'il y ait une guerre nucléaire" augmente d'année en année - ou bien a été toujours nulle, même en 1962).

Par contre, il y a une facilité que certains s'autorisent, qui est dangereuse : transférer la probabilité sur le réel, dire "suite à un sondage, il y a 95% de chances que la proportion de français qui pensent que "..." soit entre 50 et 60%. Cette proportion est soit entre 50 et 60%, soit pas du tout, mais elle n'y est pas de façon probabiliste. Si sa valeur (en gros fixe au moment du sondage) est 65%, elle y est. pas avec 95% de probabilité, elle y est.

Cordialement.

[invite179e6258]

mouais à mon avis l'énoncé n'est pas très clair. On pourrait être tenté de l'interprêter du point de vue bayesien mais comme on ne connait pas la loi a priori, on ne peut pas le résoudre.

[Amanuensis]

"Quelle est la probabilité pour que la proportion d’étudiants masculins possédant une voiture (noté p1) soit supérieure à 40%"

C'est ce que je propose comme énoncé correct ; c'est une hypothèse. Vous dites vous-même que la question 1 telle qu'apparaissant littéralement dans le message #1 "n'a pas de sens". Je suis bien d'accord, et propose qu'il y a une erreur d'énoncé, ainsi qu'un énoncé plus probable, qui lui a un sens.

Quel rapport avec le reste des commentaires ???

[Amanuensis]

mouais à mon avis l'énoncé n'est pas très clair. On pourrait être tenté de l'interprêter du point de vue bayesien mais comme on ne connait pas la loi a priori, on ne peut pas le résoudre.

On ne connaît jamais la loi a priori. On fait une hypothèse, et le calcul s'ensuit. C'est un aspect important de la perspective bayésienne sur la signification des probabilités. Le choix de prior peut néanmoins être guidé par divers principes.

[gg0]

Simplement : vous n'avez pas changé la situation.

A moins que vous puissiez répondre à mes questions sur p1 :

quelle est l'épreuve aléatoire que subit la probabilité p1 ? Ou encore, quel univers, muni de quelle loi contient une variable aléatoire p1 ?

Vous n'avez pas l'air de comprendre cette question, qui est pourtant à la base de tout calcul de probabilités. S'il n'y a pas d'aléatoire, il n'y a pas de probabilité.

Cordialement.

NB : Quel est la définition précise de votre p1 ?

[Amanuensis]

Simplement : vous n'avez pas changé la situation.

Ah bon ? Dans ce cas, vous rejetez comme ayant un sens aussi bien la question 2 et la question 3. Vous dites en gros que tout l'exercice n'a aucun sens.

Intéressant.

Ce fil est là pour aider un(e) étudiant(e) (1) à résoudre un problème que ses enseignants lui ont posé ; je ne vois pas trop l'utilité d'une réponse genre "l'exercice n'a aucun sens", surtout quand on ne connaît pas le contexte, quand on ne connaît pas ce qui a été enseigné à l'étudiant.

Vous n'avez pas l'air de comprendre cette question

Remarque peu courtoise. Je ne vois pas l'intérêt de continuer cette polémique incompréhensible et a priori futile que vous avez démarrée.

(1) Probablement une ; et au passage désolé d'avoir écorché le pseudo (I à la place de l), qui pourrait se lire Christelle.

[gg0]

"Remarque peu courtoise."
La vérité n'est pas courtoise. J'ai l'impression que vous ne voulez pas comprendre, de peur de remettre en cause toute une éducation. Dommage !


"Je ne vois pas l'intérêt de continuer cette polémique incompréhensible et a priori futile que vous avez démarrée."

Et le "a priori futile" est courtois, lui ?

1/1

[invite833f1046]

Après vérifications auprès du professeur, la question est bien erronée. La question est en fait:

Quelle est la probabilité pour que la proportion d’étudiants masculins possédant une voiture (noté p1) soit supérieure à 40%

[invite833f1046]

Bonjour,

Que pensez-vous de mon raisonnement pour la question 1:

P(A) = Probabilité que l’étudiant soit un homme = 48% (car 96 hommes sur un échantillon de 200 étudiants)
P(B) = Probabilité que l’étudiant ait une voiture = 29% (car en tout 58/200 étudiants possèdent une voiture)
P(AnB) = Probabilité qu'un étudiant homme ait une voiture

P(AnB) = P(A) x P(B) = 48% x 29% = 14%

Cependant je ne suis pas sure de moi puisqu'on voit dans l’énoncé qu'il y a 16% de conducteurs homme (sur les 200 étudiants)...

Pour l'histoire de la probabilité que la proportion d’étudiants masculins possédant une voiture (noté p1) soit supérieure à 40% instinctivement je dirais 0. puisque si on a 14% (ou 16%) qu'un étudiant homme ait une voiture, je ne vois pas comment elle pourrais être > a 40%.

[Amanuensis]

La proportion hommes/femmes n'a aucune importance pour les deux premières questions.

La première question se lit :

"Sur un échantillon de 96 étudiants masculins, 32 possède une voiture (soit 33% de l'échantillon). Quelle est la probabilité que la proportion d'étudiants masculins possédant une voiture dans la population totale d'étudiants masculins qui a été échantillonnée soit supérieure à 40 % ?"

C'est une question classique dans le cadre d'une approche bayésienne du traitement de l'échantillonnage (est-ce bien le sujet du cours dans lequel cet exercice est posé ?). C'est la même chose qu'un tirage sans remise : vous savez que dans une urne il n'y a que des boules blanches ou noires, avec un total très supérieur à 96, vous en tirez 96, et cela donne 32 blanches et 64 noires, quelle est la probabilité qu'il y avait plus de 40% de boules blanches dans l'urne au départ, en l'absence de toute autre information ? (Ou, en terme de pari, à partir de quelle cote pariez-vous que l'urne contenait plus de 40% de boules blanches ?)

Ce n'est certainement pas 0.

[invite179e6258]

On ne connaît jamais la loi a priori. On fait une hypothèse, et le calcul s'ensuit. C'est un aspect important de la perspective bayésienne sur la signification des probabilités. Le choix de prior peut néanmoins être guidé par divers principes.

dans la "vraie vie" oui, mais dans le cadre d'un exo, je m'attendrais à ce qu'il y ait au moins une indication sur la distribution a priori à considérer.

[Amanuensis]

dans la "vraie vie" oui, mais dans le cadre d'un exo, je m'attendrais à ce qu'il y ait au moins une indication sur la distribution a priori à considérer.

Oui, je comprends. C'est pour cela que j'évoquais le cours : on peut imaginer que l'exercice est donné dans un certain contexte (celui d'un cours), et que ce contexte fournit les raisonnements manquants. Je ne m'attends pas à ce qu'on pose un tel exercice (classique) avec comme demande la justification du choix de prior. Dans mon message #3 j'ai indiqué divers éléments de prior, dont celui (probabilité a priori uniforme de p1) que je m'attendrais avoir été indiqué dans le cours...

Il y a d'ailleurs d'autres manques dans l'énoncé (pouvoir négliger la taille du tirage devant la taille de population totale, par exemple). Tout cela va dans le sens de l'existence d'un contexte, non rappelé dans la demande d'aide. Ce qui n'a rien d'inusuel.