Bonjour à tous !
Voilà je bloque sur un petit exercice de probas et je vous serais donc reconnaissant de me donner quelques pistes. Voici l'énoncé :
Un ascenseur dessertétages d'un immeuble. A chaque voyage le nombre de personnes qui montent dans cet ascenseur au rez de chaussée est une variable aléatoire
suivant une loi de Poisson de paramètre
.
On émet les hypothèses suivantes :
- Aucun arrêt n'est dû à des personnes désirant monter dans l'ascenseur à un autre niveau que le rez de chaussée.
- Chaque personne choisit son étage d'arrivée au hasard et indépendamment des autres passagers. (Ces choix se font dans l'ordre d'entrée des passagers dans l'ascenseur).
Enfin, pour tout entier naturel, on appelle
la variable aléatoire égale au nombre d'arrêts de l'ascenseur lorsque celui-ci contient
passagers au départ.
Question 1 :
Montrer que pour toutet pour tout entier naturel
:
=> J'ai posé l'événement A : "le (k+1)ème passager choisit un étage déjà choisi par un autre passager" et j'utilise le fait que A et son événement contraire forme un système complet. Je tombe sur le résultat demandé.
Question 2 :
En déduire que
=> Alors là je ne sais pas trop : est-ce que je dois multiplier l'égalité précédente paret sommer sur les
pour retomber sur la définition de l'espérance ?
Question 3 :
Justifier que, puis déterminer
pour tout entier naturel
=> J'ai fait une récurrence pour l'expression deet je tombe sur
. Mais ce résultat me paraît un peu bizarre =S
Question 4 :
Montrer que si S désigne une variable aléatoire égale au nombre d'arrêts de l'ascenseur à un voyage donné alors :
=> Je vois bien qu'il faut utiliser à la fois la loi de Poisson de X pour le nombre de passagers et le calcul demais je ne vois pas trop comment faire, d'autant plus que je ne suis vraiment pas sûr de mon expression de
.
Voilà, je vous serais donc très reconnaissant de me donner quelques pistes.
Merci beaucoup !
ZimbAbwé.
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