Probas

inviteb64a2f8e · 29/10/2009, 16h06

Bonjour à tous !

Voilà je bloque sur un petit exercice de probas et je vous serais donc reconnaissant de me donner quelques pistes. Voici l'énoncé :

Un ascenseur dessert $n$ étages d'un immeuble. A chaque voyage le nombre de personnes qui montent dans cet ascenseur au rez de chaussée est une variable aléatoire $X$ suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda$ .
On émet les hypothèses suivantes :

- Aucun arrêt n'est dû à des personnes désirant monter dans l'ascenseur à un autre niveau que le rez de chaussée.

- Chaque personne choisit son étage d'arrivée au hasard et indépendamment des autres passagers. (Ces choix se font dans l'ordre d'entrée des passagers dans l'ascenseur).

Enfin, pour tout entier naturel $k$ , on appelle $S_k$ la variable aléatoire égale au nombre d'arrêts de l'ascenseur lorsque celui-ci contient $k$ passagers au départ.

Question 1 :

Montrer que pour tout $j \in [1;n]$ et pour tout entier naturel $k$ :
$P(S_{k+1}=j)= \frac{j}{n} P(S_k=j) + \frac{n-j+1}{n} P(S_k=j-1)$

=> J'ai posé l'événement A : "le (k+1)ème passager choisit un étage déjà choisi par un autre passager" et j'utilise le fait que A et son événement contraire forme un système complet. Je tombe sur le résultat demandé.

Question 2 :

En déduire que $E(S_{k+1})=1+(1- \frac{1}{n}) E(S_k)$

=> Alors là je ne sais pas trop : est-ce que je dois multiplier l'égalité précédente par $j$ et sommer sur les $j$ pour retomber sur la définition de l'espérance ?

Question 3 :

Justifier que $E(S_0)=0$ , puis déterminer $E(S_k)$ pour tout entier naturel $k \ge 0$

=> J'ai fait une récurrence pour l'expression de $E(S_k)$ et je tombe sur $E(S_k)= \sum_{i=0}^{k-1} (1- \frac{1}{n})^i$ . Mais ce résultat me paraît un peu bizarre =S

Question 4 :

Montrer que si S désigne une variable aléatoire égale au nombre d'arrêts de l'ascenseur à un voyage donné alors :

$E(S)=n(1-e^{ \frac{- \lambda}{n}})$

=> Je vois bien qu'il faut utiliser à la fois la loi de Poisson de X pour le nombre de passagers et le calcul de $E(S_k)$ mais je ne vois pas trop comment faire, d'autant plus que je ne suis vraiment pas sûr de mon expression de $E(S_k)$ .

Voilà, je vous serais donc très reconnaissant de me donner quelques pistes.

Merci beaucoup !

ZimbAbwé.

inviteaeeb6d8b · 29/10/2009, 17h20

Bonjour,

- oui pour la question 2, tu connais $P(S_{k+1} = j)$ donc $E(S_{k+1})$ est facilement calculable par :
$E(S_{k+1}) = \sum_{j=1}^{n} j P(S_{k+1}=j)$ .

- pour la fin de l'exercice, il faut que tu remarques que $S=S_X$ .

Alors, la loi de $S$ se détermine en conditionnant par rapport à $X$ .

$P(S=s) = \sum_{x=0}^{\infty} P(S=s | X=x) P(X=x)$

Tu peux aller un tout petit peu plus vite en raisonnant directement avec les espérances puisque seule l'espérance de $S$ t'intéresse.

J'espère ne pas me tromper... j'ai lu un peu vite l'énoncé faute de temps...

inviteb64a2f8e · 29/10/2009, 18h02

Tout d'abord merci de ta réponse !

- Pour la question 2, j'ai en effet multiplié toute l'égalité par $j$ puis sommé sur les $j$ mais je me retrouve avec du :

$E(S_{k+1}) = \sum_{j=1}^n \frac{j^2}{n} P(S_k=j) + \sum_{j=1}^n \frac{(n-j+1)j}{n} P(S_k=j-1) = \frac{1}{n} [E(S_k^2) + \sum_{j=1}^n (n-j+1)j P(S_k=j-1)]$

Et de là je ne vois pas comment retomber sur la formule cherchée =S Est-ce que je dois faire un changement d'indice dans la deuxième somme ?

- Pour la question 3, mon expression de $E(S_k)$ semble bonne ?

- Pour la question 4, je vois bien que l'espérance de $P_{(X=x)}(S=s)$ est $E(S_x)$ mais je ne vois pas comment avoir un relation entre $E(S)$ , $E(X)$ et $E(S_x)$

inviteaeeb6d8b · 30/10/2009, 10h04

Bonjour,

Concernant les calculs qui te posent problème...

Envoyé par ZimbAbwé

$P(S_{k+1}=j)= \frac{j}{n} P(S_k=j) + \frac{n-j+1}{n} P(S_k=j-1)$

(...)

En déduire que $E(S_{k+1})=1+(1- \frac{1}{n}) E(S_k)$

Je propose de réécrire comme ceci :
$P(S_{k+1} = j) = \frac{j}{n} P(S_k = j) - \frac{j-1}{n} P(S_k = j-1) +P(S_k = j-1)$
donc :
$j P(S_{k+1} = j) = \frac{j^2}{n} P(S_k = j) - \frac{j(j-1)}{n} P(S_k = j-1) + j P(S_k = j-1)$

$j P(S_{k+1} = j) = \frac{j^2}{n} P(S_k = j) - \frac{j(j-1)}{n} P(S_k = j-1) + (j-1) P(S_k = j-1) + P(S_k=j-1)$

On somme sur $j$ et on a :
$E(S_{k+1}) = \frac{1}{n} E(S_k^2) - \frac{1}{n}E\big(S_k (S_k + 1)\big) + E(S_k) + 1 = 1 + (1-\frac{1}{n}) E(S_k)$

La question 3, c'est encore du calcul. Pour savoir si ton résultat est correct, regarde s'il vérifie l'hypothèse de récurrence :
$E(S_{k+1}) = 1 + (1-\frac{1}{n}) E(S_k)$

La question 4 : il me semble avoir tout dit dans mon message précédent. Tu as la loi de $S$ , il est facile de trouver l'espérance.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

inviteb64a2f8e · 31/10/2009, 14h32

Merci beaucoup Romain-des-Bois !

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