Bonjour tout le monde.
Je vous explique mon problème: j'ai lu, il y a quelques mois, un Science et Vie Junior de mon petit frère (oui je sais, ça m'arrive...). Le problème c'est que sur un article où ils prétendent démontrer qu'il ne faut pas toujours se fier à son intuition, j'ai repéré une erreur, mais je n'arrive pas à déceler ou elle se trouve.
Voici l'énoncé:
Un croupier dans un casino tire deux cartes dans un jeu, et les pose face cachée sur la table devant lui (il les a regardées avant). En gros le but du jeu c'est de deviner quand les deux cartes sont rouge. Le croupier à le choix, soit il ne dit rien, soit il affirme (si c'est vrai bien sûr) qu'une des deux cartes est rouge (on sait pas pour la deuxième) soit il affirme qu'une des deux cartes est rouge et en plus montre laquelle. Le rédacteur affirme ensuite que la probabilité que les deux cartes soit rouge est plus grande quand le croupier désigne la carte que quand il ne fait que dire qu'une des deux est rouge! Bien sûr c'est faux.
Je m'en va vous le montrer , c'est facile:
D'abord, pour faciliter la chose (et puis surtout parce que je me rapelle plus trop de l'énoncé exact) je me place dans le cas ou le jeu de cartes ne comporte que quatre cartes (deux rouges et deux noires).
On considère X la variable aléatoire qui donne le nombre de cartes rouge tirées par le croupier. On a donc évidement
On calcule facilement, grâce à un arbre que:
On sais aussi que
On a donc d'après le théorème de Bayes:
En gros la probabilité que les deux cartes soient rouges quand on sait qu'une est rouge vaut 0,2 et ça ne dépend pas du tout du fait qu'il ait montré ou pas quelle carte...
Le problème, c'est que je n'arrive pas à démontrer que leur démo est fausse:
Il prennent l'espace de l'ensemble des doublets de cartes tirées en tenant compte de l'ordre, qui est équiprobable. Si le croupier affirme qu'une des cartes est rouge, ça élimine toutes les possibilités avec deux cartes noires. L'espace à l'arrivée est alors équiprobable et on a donc une probabilité plus forte pour le cas X=2 car la proportion de ces cas parmi le nombre de cas total a augmenté.
La fourberie maintenant: si le croupier annonce que c'est la carte de gauche qui est rouge, ça enlève en plus toutes les possibilités avec une carte noire à gauche, donc la proba augmente encore!
S'il vous plaît dites moi où est l'erreur!
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