produit scalaire sur un espace vectoriel

[invite77420056]

bonjour à tous


Définition :Soit E un espace vectoriel sur R, et soit f:E×E dans R une fonction. On dit que f est un produit scalaire si
pour tous u,v de E, f(u,v)=f(v,u).
pour tous u,v,w de E, f(u+v,w)=f(u,w)+f(v,w).
pour tout a de R, et tous u,v de E, f(au,v)=f(u,av)=af(u,v).
pour tout u de , f(u,u)>=0, avec égalité si, et seulement si, u=0.

voila en fait je n'arrive pas à comprendre ce qu'est un produit scalaire et je n'arrive pas non plus à comprendre les egalités ci dessus.

pourriez vous m'expliquer les calculs et me donner des exemples de produits scalaires?


merci par avance.
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[Thorin]

exemple de produit scalaire : le produit scalaire employé au lycée.

[invite7cd6668c]

Les formules ci-dessus se résument en disant que le produit scalaire est une forme lineaire (application lineaire à valeur dans ) et même bi-linéaire symétrique ( ) non dégénéréé ( ).
Les produiits scalaires sont important car induisent une distance.il y beaucoup de produits scalaires.
Tu en trouveras aisement en cherchant sur le net !

[Thorin]

le produit scalaire est une forme lineaire

Faux.
A-t-on ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite77420056]

en fait c'est le f(u,v)=f(v,u) que je ne comprends pas

auriez vous un exemple?

[invite7cd6668c]

exemple : prenons

on a ici
( commutativité du produit)
Ceci dit ici f ne définit pas un produit scalaire.Peut tu me dire pourquoi ?

[invite7cd6668c]

F définie t-elle un produit scalaire ( j'ai définit f ci dessus ) ?

[invite77420056]

ben c'est une application lineaire .


je crois ke je me suis planté

[invite7ffe9b6a]

Bonjour un produit scalaire sur un espace vectoriel est une forme bilinéaire symétrique définie positive.

Plus concretement, b est un produit scalaire sur E veut dire:

-b est une forme bilinéaire :



b est linéaire à droite: a x fixé ,



b est linéaire à gauche: de même que précédemment on fixe y à droite, alors pour tout x,z dans E l dans K , b(lx+z,y)=lb(x,y)+b(x,y)

-b est symétrique:


-b est définie positive

définie :

positive



Exemple de produit scalaire :

1)E=R²




2) E={fonction continue de R dans R 2pi périodique}



Voila, montrer que ces deux applications sont bien des produits scalaire est un bon exercice

[invite77420056]

je comprend pas ce qu'est la linearité a droite et la linearité à gauche

[Flyingsquirrel]

b est linéaire à droite: a x fixé ,

je comprend pas ce qu'est la linearité a droite et la linearité à gauche

Dire que est linéaire à droite revient à dire que pour tout de , l'application est linéaire.

Pour obtenir la définition de « linéaire à gauche » il faut intervertir et .

[invite77420056]

b: E \times E \to K [/TEX]

b est linéaire à droite: a x fixé ,



b est linéaire à gauche: de même que précédemment on fixe y à droite, alors pour tout x,z dans E l dans K , b(lx+z,y)=lb(x,y)+b(x,y)

-b est symétrique:

pourquoi pour la linearité à gauche on a pas plutot

b(lx+z,y)=lb(x,y)+b(y,x)


expliquez moi svp car là je suis completement perdu

[Flyingsquirrel]

pourquoi pour la linearité à gauche on a pas plutot

b(lx+z,y)=lb(x,y)+b(y,x)

En fait c'est .

[invite7ffe9b6a]

En fait c'est .

oui désole faute de frappe ....

Apres par exemple on peut utiliser les deux linéarité d'un coup.

Si on veut developper .

On fixe , on utilise la linéarité à droite , on obtient:



Ensuite on fixe c et d et on utilise la linéarité a gauche, on obtient





Autre chose a laquelle il faut faire attention

[xelyx]

Bonjour jonh35,
Je partage ton souci de comprendre les notions fondamentales qui ont été formalisées dans la théorie. Ce faisant , elles ont perdu contact avec le concept élémentaire qui est si précieux pour le commençant.
Il faut donc revenir à des pré-mathématiques pour comprendre d'où vient le produit scalaire.


Plaçons -nous dans un plan muni d'un repère orthonormé(O,i,j)(un quadrillage quoi!). Et donnons nous deux points A et B par leur coordonnées (x,y) , (x',y'). Et l'on se pose le problème suivant:
Comment évaluer à l'aide de x, y, x',y' le fait que le triangle OAB soit rectangle en O, ou non?
Il faut donc comparer la somme des carrés des distances OA²+OB² avec AB². C'est à dire évaluer l'expression -AB²+OA²+OB² qui donne 2(xx'+yy')

L'expression xx'+yy' est donc discriminante par rapport à l'orthogonalité de OA et OB. De plus il semble qu'elle évalue encore plus finement la position relative de OA par rapport à OB puisque d'après les relations dans le triangle on voit que xx'+yy' est aussi le produit des mesures algébriques OA et OH. Si H est le projeté de B sur (OA).
Il vient donc que xx'+yy'=OA*OB*cos(OA,OB)

L'application ((x,y),(x',y'))-------> xx'+yy' est bilinéaire symétrique positive etc.....Il est naturel de se demander si les autres formes bilinéaires, symétriques, positives etc.....ressemblent à celle que l'on vient de construire.

En fait , ce sont les notions d'orthogonalité et de distance qui induisent notre produit scalaire de naïf. Mais réciproquement en se donnant une forme bil sym pos on construit très facilement une distance et une orthogonalité donc une relation de pythagore et toute la géométrie euclidienne. Donc se donner un produit scalaire c'est se donner un quadrillage.

En résumé, le produit scalaire c'est le papa et la maman de Pythagore.

[invite77420056]

merci beaucoup je comprends maintenant mieux ce qu'est un produit scalaire et une forme bilineaire et donc a quoi sert le produit scalaire


merci pour votre precieuse aide