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produit scalaire sur un espace vectoriel



  1. #1
    invite77420056

    produit scalaire sur un espace vectoriel


    ------

    bonjour à tous


    Définition :Soit E un espace vectoriel sur R, et soit f:E×E dans R une fonction. On dit que f est un produit scalaire si
    pour tous u,v de E, f(u,v)=f(v,u).
    pour tous u,v,w de E, f(u+v,w)=f(u,w)+f(v,w).
    pour tout a de R, et tous u,v de E, f(au,v)=f(u,av)=af(u,v).
    pour tout u de , f(u,u)>=0, avec égalité si, et seulement si, u=0.

    voila en fait je n'arrive pas à comprendre ce qu'est un produit scalaire et je n'arrive pas non plus à comprendre les egalités ci dessus.

    pourriez vous m'expliquer les calculs et me donner des exemples de produits scalaires?


    merci par avance.

    -----

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  3. #2
    Thorin

    Re : produit scalaire sur un espace vectoriel

    exemple de produit scalaire : le produit scalaire employé au lycée.
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  4. #3
    jerome201

    Re : produit scalaire sur un espace vectoriel

    Les formules ci-dessus se résument en disant que le produit scalaire est une forme lineaire (application lineaire à valeur dans ) et même bi-linéaire symétrique ( ) non dégénéréé ( ).
    Les produiits scalaires sont important car induisent une distance.il y beaucoup de produits scalaires.
    Tu en trouveras aisement en cherchant sur le net !

  5. #4
    Thorin

    Re : produit scalaire sur un espace vectoriel

    Citation Envoyé par jerome201 Voir le message
    le produit scalaire est une forme lineaire
    Faux.
    A-t-on ?
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    invite77420056

    Re : produit scalaire sur un espace vectoriel

    en fait c'est le f(u,v)=f(v,u) que je ne comprends pas

    auriez vous un exemple?

  8. #6
    jerome201

    Re : produit scalaire sur un espace vectoriel

    exemple : prenons

    on a ici
    ( commutativité du produit)
    Ceci dit ici f ne définit pas un produit scalaire.Peut tu me dire pourquoi ?

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  10. #7
    jerome201

    Re : produit scalaire sur un espace vectoriel

    F définie t-elle un produit scalaire ( j'ai définit f ci dessus ) ?

  11. #8
    invite77420056

    Re : produit scalaire sur un espace vectoriel

    ben c'est une application lineaire .


    je crois ke je me suis planté

  12. #9
    Antho07

    Re : produit scalaire sur un espace vectoriel

    Bonjour un produit scalaire sur un espace vectoriel est une forme bilinéaire symétrique définie positive.

    Plus concretement, b est un produit scalaire sur E veut dire:

    -b est une forme bilinéaire :



    b est linéaire à droite: a x fixé ,



    b est linéaire à gauche: de même que précédemment on fixe y à droite, alors pour tout x,z dans E l dans K , b(lx+z,y)=lb(x,y)+b(x,y)

    -b est symétrique:


    -b est définie positive

    définie :

    positive



    Exemple de produit scalaire :

    1)E=R²




    2) E={fonction continue de R dans R 2pi périodique}



    Voila, montrer que ces deux applications sont bien des produits scalaire est un bon exercice

  13. #10
    invite77420056

    Re : produit scalaire sur un espace vectoriel

    je comprend pas ce qu'est la linearité a droite et la linearité à gauche

  14. #11
    Flyingsquirrel

    Re : produit scalaire sur un espace vectoriel

    Citation Envoyé par Antho07 Voir le message
    b est linéaire à droite: a x fixé ,
    Citation Envoyé par jonh35 Voir le message
    je comprend pas ce qu'est la linearité a droite et la linearité à gauche
    Dire que est linéaire à droite revient à dire que pour tout de , l'application est linéaire.

    Pour obtenir la définition de « linéaire à gauche » il faut intervertir et .

  15. #12
    invite77420056

    Re : produit scalaire sur un espace vectoriel

    Citation Envoyé par Plus concretement, b est un produit scalaire sur E veut dire:

    -b est une forme bilinéaire :

    [TEX
    b: E \times E \to K [/TEX]

    b est linéaire à droite: a x fixé ,



    b est linéaire à gauche: de même que précédemment on fixe y à droite, alors pour tout x,z dans E l dans K , b(lx+z,y)=lb(x,y)+b(x,y)

    -b est symétrique:

    pourquoi pour la linearité à gauche on a pas plutot

    b(lx+z,y)=lb(x,y)+b(y,x)


    expliquez moi svp car là je suis completement perdu

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  17. #13
    Flyingsquirrel

    Re : produit scalaire sur un espace vectoriel

    Citation Envoyé par jonh35 Voir le message
    pourquoi pour la linearité à gauche on a pas plutot

    b(lx+z,y)=lb(x,y)+b(y,x)
    En fait c'est .

  18. #14
    Antho07

    Re : produit scalaire sur un espace vectoriel

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    En fait c'est .
    oui désole faute de frappe ....

    Apres par exemple on peut utiliser les deux linéarité d'un coup.

    Si on veut developper .

    On fixe , on utilise la linéarité à droite , on obtient:



    Ensuite on fixe c et d et on utilise la linéarité a gauche, on obtient





    Autre chose a laquelle il faut faire attention


  19. #15
    xelyx

    Re : produit scalaire sur un espace vectoriel

    Bonjour jonh35,
    Je partage ton souci de comprendre les notions fondamentales qui ont été formalisées dans la théorie. Ce faisant , elles ont perdu contact avec le concept élémentaire qui est si précieux pour le commençant.
    Il faut donc revenir à des pré-mathématiques pour comprendre d'où vient le produit scalaire.


    Plaçons -nous dans un plan muni d'un repère orthonormé(O,i,j)(un quadrillage quoi!). Et donnons nous deux points A et B par leur coordonnées (x,y) , (x',y'). Et l'on se pose le problème suivant:
    Comment évaluer à l'aide de x, y, x',y' le fait que le triangle OAB soit rectangle en O, ou non?
    Il faut donc comparer la somme des carrés des distances OA²+OB² avec AB². C'est à dire évaluer l'expression -AB²+OA²+OB² qui donne 2(xx'+yy')

    L'expression xx'+yy' est donc discriminante par rapport à l'orthogonalité de OA et OB. De plus il semble qu'elle évalue encore plus finement la position relative de OA par rapport à OB puisque d'après les relations dans le triangle on voit que xx'+yy' est aussi le produit des mesures algébriques OA et OH. Si H est le projeté de B sur (OA).
    Il vient donc que xx'+yy'=OA*OB*cos(OA,OB)

    L'application ((x,y),(x',y'))-------> xx'+yy' est bilinéaire symétrique positive etc.....Il est naturel de se demander si les autres formes bilinéaires, symétriques, positives etc.....ressemblent à celle que l'on vient de construire.

    En fait , ce sont les notions d'orthogonalité et de distance qui induisent notre produit scalaire de naïf. Mais réciproquement en se donnant une forme bil sym pos on construit très facilement une distance et une orthogonalité donc une relation de pythagore et toute la géométrie euclidienne. Donc se donner un produit scalaire c'est se donner un quadrillage.

    En résumé, le produit scalaire c'est le papa et la maman de Pythagore.

  20. #16
    invite77420056

    Re : produit scalaire sur un espace vectoriel

    merci beaucoup je comprends maintenant mieux ce qu'est un produit scalaire et une forme bilineaire et donc a quoi sert le produit scalaire


    merci pour votre precieuse aide

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