Etude d'une fonction avec représentation graphique

[invite9069aa2a]

Bonjour,

Actuellement en BTS, je me retrouve bloqué sur un exercice... et venant d'un bac STL disons que les mathématiques ne sont pas mon fort...
J'ai une fonction f(x)= 0,5x-4+e^-0,5x. On me demande de faire l'étude de la fonction, j'ai donc fais le domaine de définition, les limites, la dérivé et le tableau de variation.
Pour la dérivé je trouve f'(x)= 0,5-0,5e^-0,5x

On me demande ensuite la primitive s'annulant en 0.
je trouve F(x)= x^0,5-4x+(-2)e^-0,5x, mais comment montrer qu'elle s'annule en 0 ?

On me demande de trouver la tangente au point A d'abscisse (-2).
je trouve y=f'(-2).(x+2)+f(-2)

Mais surtout on me demande de trouvé l'asymptote oblique... sauf que je n'ai jamais vu ça, et je n'ai pas de cours dessus. J'ai essayer de regarder sur internet mais je ne vois pas la démarche qu'il faut appliqué...

Si quelqu'un peut me venir en aide, merci d'avance !
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[Seirios]

Bonjour,

Tu as fait une erreur sur la primitive : regarde le premier terme. Ensuite, rappelle-toi qu'une primitive n'est définie qu'à une constante près, donc F+c est également une primitive. Trouver la primitive s'annulant en 0 revient à trouver la constante c telle que F(0)+c=0.

[gg0]

Pour l'asymptote oblique, c'est tout simple. Si la fonction s'écrit sous la forme f(x)=ax+b+g(x) où g(x) est une fonction qui tend vers 0 quand x tend vers plus l'infini (ou moins l'infini), la courbe de f a pour asymptote la droite d'équation y=ax+b : concrètement, pour x très grand (très négatif pour - infini) la courbe et la droite q=sont quasiment confondus. si a est non nul, l'asymptote est dite oblique (et horizontale si a=0) en référence aux tracés au tableau.

Dans ton cas c'est quasi évident.

Cordialement.

[invite9069aa2a]

Ahh oui j'ai oublié de le noter ici alors que je l'ai mis sur ma copie, F(x)= x^0,5-4x+(-2)e^-0,5x+k
D'accord donc à chaque fois que l'on me dis de trouver où elle s'annule (peu importe le nombre), je dois chercher le k ?

Par contre je ne vois pas mon erreur... je dois bien avoir une puissance au 1/2 pour l'avoir ensuite au niveau du x quand je dérive non ? (comme F=x² => f=2x)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Une primitive de est !

[invite9069aa2a]

Donc si je comprend bien gg0, je dis que g(x) tend vers 0 en + l'infini. J'ai donc une équation de tangente (classique) y=ax+b. Ce qui me donne ici y=0,5x-4, comme 0,5 est différent de 0, j'ai une asymptote oblique.

[Seirios]

Si tu n'as pas eu de cours sur les asymptotes obliques, je te donne quelques détails en complément de la réponse de gg0 :

On dit que la fonction f a la droite d'équation y=ax+b comme asymptote oblique en si ; intuitivement, la fonction se rapproche de plus en plus de la droite en l'infini.

Pour trouver une asymptote oblique (si elle existe), une méthode systématique est de calculer et de chercher les constantes a et b pour que la limite soit nulle. Maintenant, il y a des cas où l'on peut deviner facilement les constantes, et montrer directement que la limite est nulle.

[invite9069aa2a]

D'accord donc dans ce cas, j'ai fais:
f(0)-(a*0+b)=0 j'ai trouvé que b=-3
f(1)-(a*1-3)=0 j'ai trouvé que a=-0,5+exp(-0,5)
et là je peux dire que j'ai une asymptote oblique

Pour la primitive le 1er terme serait x²/4

[gg0]

Non, non !

C'est global, avec x. Et ça revient exactement à la même chose que ce que je t'ai dit : par construction, g(x)=f(x)-(ax+b). Ce qu'il faut trouver, c'est le a et le b, qui étaient donnés dans ton cas. Par curiosité, ton g(x) (message 6) vaut combien ?

Sinon, trouver une primitive de 0,5 x (qui n'est pas x^0,5), c'est du programme de terminale STL.

[invite9069aa2a]

ok donc j'ai pas du tout compris la démarche...
Je pensais que le g(x) correspondait à e^-0,5x de la fonction f(x) et que par conséquent pour x tend vers + l'infini g(x)=0...

donc je ne vois pas à quoi correspond le ax+b de la fonction g(x)...

[invite8d4af10e]

bonjour
si tu n'as pas compris les méthodes à Gg0 et Seirios , il suffit de calculer lim f(x)/x quand x-> infini et si cette limite est finie disons a , tu calculeras lim (f(x)-ax) quand x tend vers l'infini et si celle limite est finie qu'on appellera b alors , y a plus qu'à conclure : f(x) possède une asymptote oblique y=ax+b .

[invite9069aa2a]

Donc si je comprend bien,
en + l'infini: limf(x)=0 => limf(x)/(+ l'infini)=O
en - l'infini: limf(x)=+ l'infini et limf(x)/(-l'infini)= FI
donc la limite est finie sur 0
lim(f(x)-0x)=0

j'ai denouveau une erreur puisque je ne peux pas avoir d'asymptote oblique y=0x+0...

[invite8d4af10e]

lim f(x)/x et non lim f(x)

[invite9069aa2a]

en + l'infini ça me donne lim f(x)/x = 0
et pour - l'infini ça me donne une forme indéterminée

[invite8d4af10e]

y a une erreur dans ton calcul
f(x)=0,5x-4+e-0,5x
si tu fais f(x)/x=0.5-4/x+e-0,5x/x avec x->infini

[invite9069aa2a]

Je comprend toujours pas... :/
car si je prend ce que tu me dis, pour + l'infini: f(x)/x= 0,5x-4+e(-0,5x)/x ça me donne +l'infini/+l'infini
pour -l'infini: f(x)/x= 0,5x-4+e(-0,5x)/x ça me donne -l'infini+l'infini/-l'infini

[invite8d4af10e]

Pour +infini
lim f(x)/x=(0,5x-4+e(-0,5x))/x=0.5+lim (-4+e(-0,5x))/x
lim (-4+e(-0,5x))/ x->0 quand x->+infini ( exponentille l'emporte sur la puissance , c'est facile à démontrer ) et 4/x->0
donc lim f(x)/x=0.5 quand x->+infini
y a plus qu'à calculer lim f(x)-0.5x quand x tend vers +infini .

[invite9069aa2a]

lim f(x)-0,5x pour x tend vers + l'infini.
ça me donne - l'infini ce qui n'est pas ça puisque l'on devrait obtenir une valeur définie...

J'abandonne... je n'arrive pas à comprendre le raisonnement qu'il faut avoir pour ce type d'exercice et je viens de me rendre compte que toute ma partie sur l'étude de la fonction est fausse...
Donc merci à vous d'avoir pris du temps pour m'aider mais je ne vais pas vous en faire perdre plus.

[invite8d4af10e]

lim f(x)-0,5x pour x tend vers + l'infini.
ça me donne - l'infini ce qui n'est pas ça puisque l'on devrait obtenir une valeur définie...

Bonjour
f(x)= 0,5x-4+e-0,5x
f(x)-0.5x= -4+e-0,5x donc lim(-4+e-0,5x)->-4 quand x tend vers +infini car e-0,5x->0 quand x tend vers +infini .
je ne sais pas comment tu as fait tes calculs ?
on retrouve g(x)=0.5x-4 comme asymptotique oblique comme dit plus haut .
pourquoi abandonne-tu ?

[invite9069aa2a]

Parce que le résultat ne m'interesse guère, c'est la démarche pour pouvoir refaire ce type d'exercice qui m'interesse.
Au final j'ai dis cette nuit que:
- l'asymptote oblique se trouvait en + l'infini (par rapport à un graphique que j'ai fais pour me donner une idée de la courbe)
- limf(x)/x soit (0,5x-4+e^-0,5x)/x => 0,5x/x - 4/x + e^-0,5x/x
soit a=0,5
- f(x)-ax=b soit b=0,5x-4+e^-0,5x-0,5x=-4
donc y=0,5x-4

Le problème étant que mon étude de fonction étant fausse aussi, ça me laisse supposer que je n'ai pas du tout compris ce type d'exercice...