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Etude d'une fonction avec ln



  1. #1
    klem69

    Question Etude d'une fonction avec ln


    ------

    Bonjour à tous.

    J'aurais besoin de votre aide pour déterminer le signe d'une dérivée.

    J'ai f(x) = -x/2 + ln ((x-1)/x)
    f est définie sur ]-infini ; 0[ U ]1; +infini[

    Je dois trouver le sens de variation de f, j'ai donc calculé sa dérivée :
    f'(x) = -1/2 + 1/(x(x-1))

    Et à partir de là, je sais que je dois trouver le signe de la dérivée en fonction de x, mais je n'arrive pas à aller plus loin que :
    -1/2 + 1/(x(x-1)) > 0 <=> 1/(x(x-1)) > -1/2

    Merci d'avance pour tous vos conseils !

    -----

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  3. #2
    Jeanpaul

    Re : Etude d'une fonction avec ln

    Citation Envoyé par klem69 Voir le message
    -1/2 + 1/(x(x-1)) > 0 <=> 1/(x(x-1)) > -1/2
    T'étais bien parti, là, pourquoi n'as-tu pas effectué cette somme ? De manière générale, les seules inégalités faciles à traiter ce sont celles où il y a zéro d'un côté.

  4. #3
    klem69

    Re : Etude d'une fonction avec ln

    D'accord, j'ai calculé f'(x) et j'obtiens :
    f'(x) = (-x^2 + x + 2)/ (2x(x-1))
    Je calcule séparément les valeurs qui annulent le numérateur et le dénominateur, et je fais mon tableau de signe.

    Pour le numérateur je trouve 2 racines : -1 et 2
    -x^2 + x + 2 est négatif sur ]-1 ; 2[ et positif sur ]-infini ; -1 [ U ] 2; +infini[

    Pour le dénominateur je trouve 0 et 1, 2x ( x-1) est donc négatif sur ]0;1[ et positif sur le reste.

    Par contre après quand j'arrive à la ligne de f', je dois mettre une double barre entre 0 et 1 pour montrer que ces deux valeurs sont impossibles ? (car elles annulent le dénominateur) ?

    Je tombe finalement sur :
    f'(x) < 0 sur ]-infini ; -1[ U ]2 ; +infini[ et f'(x) > 0 sur ]-1 ; 0[ U ] 1; 2[

    C'est ça ?

  5. #4
    Jeanpaul

    Re : Etude d'une fonction avec ln

    Oui c'est bon pour ce calcul, mais tu as oublié un point important : quand la fonction est-elle définie ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    klem69

    Re : Etude d'une fonction avec ln

    Elle n'est pas définie pour sur ]0 ; 1[, donc je mets 2 doubles barres dans mon tableau ? (pour 0 et 1)

  8. #6
    Jeanpaul

    Re : Etude d'une fonction avec ln

    Citation Envoyé par klem69 Voir le message
    Elle n'est pas définie pour sur ]0 ; 1[, donc je mets 2 doubles barres dans mon tableau ? (pour 0 et 1)
    Non, tu barres toute cette zone.

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  10. #7
    klem69

    Re : Etude d'une fonction avec ln

    D'accord, merci

  11. #8
    klem69

    Re : Etude d'une fonction avec ln

    J'ai eu 18 au DM

  12. #9
    Jeanpaul

    Re : Etude d'une fonction avec ln

    Citation Envoyé par klem69 Voir le message
    J'ai eu 18 au DM
    C'est fort bien, n'oublie pas de retenir les méthodes générales employées, ça peut resservir.

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