Bonjour à tous
un problème de maths le plus casse-tête que j'ai pu rencontrer avec la bijection.
On considère la fonction f continue dans R dans R, satisfaisant l'équation fof -2f +id=0
où id est la fonction identité à qui x associe x
a) montrer que f est une bijection
b) montrer que f n'est pas décroissante sur R
c) montrer alors que f est croissante sur R
d) montrer que quelque soit n appartenant à Z, f^n(0)= nf(0)
pour a).
J'ai transformé id en f^(-1)of
ce qui donne dans l'équation fof-2f+ f^(-1)of= 0
en développant on trouve[ (fof)^2+ 1 -2f * fof ]/ fof (ou * f^(-1)of)= 0
ce qui donne (fof)^2+ 1 -2f * fof= 0
en posant X= fof on a X^2 - 2f X+1= O
on a donc une fonction polynôme de second degré.
or la fonction f est dérivable sur R donc elle est continue sur R. Elle est monotone sur ]-infini; f-(racine(f-1))] et sur [f-racine (f-1)); f+racine (f-1)) et monotone sur l'intervalle [f+racine(f-1));+infini[
donc elle réalise une bijection sur chacun de ces trois intervalles.
Donc l'image de chacun de ces intervalles donne ]+infini; f(f-racine(f-1))] et sur [f(f-racine(f-1)); f(f+racine (f-1))] et [ f(f+racine(f-1)); + infini[.
Voilà j'ai l'impression que j'ai du chercher trop compliqué pour la question a alors je voudrais savoir ce que vous auriez répondu à ma place dans le contrôle.
et les autres que je n'ai pas comprises:
b) montrer que f n'est pas décroissant.
Je reprend ma fonction X^2-2fX+1=0
en prenant les racines , il y a le signe de + a à l'extérieur des racines et le signe de -a à l'intérieur des racines.
Donc en répondant en même temps à la question c je dis que f est croissante sur ] -infini; f-racine(f-1))]U [f+racine (f-1); + infini[
Pour la question d, ça ressemble à la formule de taylor f^n(0)= nf(0)
mais comme j'ai mal répondu les questions précédentes, j'ai du mal à trouver la réponse sans doute une conclusion qui servait de démonstration dans les questions précédentes.
en y réfléchissant je crois qu'il s'agit d'une fonction logarithmique.
On sait que ln(a^n)= nlna
ici on a f^n(0)= nf(0)
non pas tout à fait la même chose le n n'est pas à la même place.
Ah franchement je ne sais pas comment faire. Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider?
Merci d'avance pour votre aide
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