Topologie

[invitecc87dbce]

Bonsoir,

Est-ce que les composantes connexes par arcs sont-elles obligatoirement fermées?

Merci
-----

[Seirios]

Bonsoir,

Je dirais que non : Considérons le graphe de la fonction continûment prolongée par 1 en 0. Alors contient deux composantes connexes par arcs, et ; pourtant, est dans l'adhérence de .

[invite705d0470]

Ce même exemple qui permet d'expliquer que l'on peut être connexe sans être connexe par arc

[invitecc87dbce]

Salut,

Pourquoi y a t'il deux composantes connexes?
J'en ai trouvé uniquement une : le graphe de sin(x)/x.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Il y a une seule composante connexe, mais deux composantes connexes par arcs. Tu ne peux pas trouver un chemin continu allant d'un point du graphe vers (0,1) : un tel chemin serait nécessairement non borné ce qui contredirait la continuité de .

[albanxiii]

Bonjour,

Ce même exemple qui permet d'expliquer que l'on peut être connexe sans être connexe par arc

J'espère que personne n'a assayé de le démontrer parce que c'est faux.
Vous avez confondu avec le graphe

@+

[Seirios]

D'ailleurs mon exemple n'est absolument pas bon, je pensais au graphe de ce contre-exemple...

[invite179e6258]

annulé -------

[invite705d0470]

EN effet,

[Amanuensis]

Suffit de prendre l'exemple classique du contre-exemple d'un connexe non connexe par arc, le graphe de x -> sin(1/x), avec x dans R*+, union le segment 0x[-1,1]

Aussi bien le graphe que le segment sont connexes par arc, et forment la partition en composantes connexes par arc.

Le graphe est ouvert. Mais le graphe ne peut pas être fermé, car alors ce serait une composante connexe, or on sait que l'union est connexe...

[invitecc87dbce]

Comment le graphe peut-il être ouvert?

[Amanuensis]

Comment le graphe peut-il être ouvert?

x -> sin(1/x) est continue

[invite76543456789]

Bonjour,
Attention quand meme, le fait qu'une fonction soit continue implique en general que son graphe est fermé, pas ouvert.
Ici la partie graphe est ouverte dans son adhérence, pas dans le plan tout entier, et ca c'est du au fait que la topologie dessus est induite par celle du plan et que le demi plan ouvert droit est un ouvert.

[Amanuensis]

Ici la partie graphe est ouverte dans son adhérence, pas dans le plan tout entier

Dans la démo que je propose, la question est si la partie graphe est ouverte dans l'ensemble E = graphe union 0x[-1,1] (muni de la topologie induite). Il n'a été nul part question du plan, ni de l'adhérence (pas explicitement).

Le graphe est homéomorphe, via x --> sin(1/x), à R+*. Cela ne suffit-il pas pour montrer que c'est un ouvert dans E ?

[invite76543456789]

Ok, j'avais mal compris ce que vous proposiez... mais je ne crois pas que ce soit suffisant pour conclure, en tout cas je comprends pas pourquoi.
Le fait que G (le graphe de sin(1/x) pour x>0) soit homéomorphe à ]0,+oo[ ne me semble pas suffisant pour assurer qu'il est ouvert dans E, il faut en dire un peu plus sur E.
Par exemple si vous prenez G le meme graphe et que vous lui adjoignez les points (1,sin(1)+1/n)), appelons F la réunion, le graphe la dedans est toujours homéomorphe a R^+* mais n'est pas ouvert dans F.

Par contre effectivement la projection sur la premiere coordonnées vous assuez immédiatement que le graphe est ouvert dans E.

[Amanuensis]

Par contre effectivement la projection sur la premiere coordonnées vous assuez immédiatement que le graphe est ouvert dans E.

OK. Mon erreur est d'avoir pris x --> (x, sin(1/x)), faut prendre la réciproque, P --> x tel que P=(x, sin(1/x)). C'est bien ça ?

[invite76543456789]

En fait c'est qu'il faut une application definie sur E tout entier, et pas seulement sur le graphe. Parce que sinon on ne peut pas en déduire qqch sur le carractère ouvert ou fermé dans E.