Bonjour j'ai un petit dm de mathématiques qui a pour but de nous faire trouver la dérivé des fonctions cos et sin.
Mais je bloque sur quelques points et je vous prierai de bien vouloir m'apporter votre lumiere.
1) Calcul d'une limite fondamentale.
Soit M un point du cercle trigonometrique situé sur le quart de cercle AB, et x la longueur de l'arc de cercle AM (comprise entre 0 et pi/2)
a) MOntrer que l'aire du secteur du disque limité par les points O, A,M est égale à x/2.
Réponse:
la longueur de l'arc est proportionnelle à l'aire du secteur du disque, d'ou
2pi x
pi X
X= xpi/2pi
X= x/pi
b) On admet que l'aire du secteur du disque OAM est comprise entre l'aire du triangle OAM et l'aire du triangle OAT.
En déduire que sinx<x<tanx
J'arrive a montrer que sinx (MH) eest inferieur à tanx (TA) en disant que OMT et OHA sont des points alignés dans cet ordre mais je ne sais pas quoi faire pour montrer que x est compris entre les 2...
Eclairer moi s'il vous plait.
c) En déduire que cosx < sinx/x<1
Cos x est toujours plus petit que 1 ca c'est su mais comment expliquer que sinx/x est compris entre les 2?
Je ne sais pas.
d) En utilisant la parité des fonctions en déduire que si M appartient au quart de cercle AC on a la relation:
cosx<sinx/x<1.
cos-x = cosx
sin(-x)/x = -sinx/-x = sinx/x
CQFD.
e) En déduire la valeur de lim sinx/x (x -> 0). Controler ce résultat grace a des observations numériques et graphiques.
Aucune idée.
f) En déduire que la fonction sinus est dérivable en 0.
Donner la valeur de son nombre dérivé en ce point.
Je crois que c'est 1.
Que peut-on conclure pour la courbe de la fonction sinus au voisinnage de 0?
Elle sera confondue avec la droite d'equation y=1.
2) Détermination de la fonction dérivées de la fonction sinus.
a) Ecrire la definition du nombre derivé en x de la fonction sinus.
On appelle nombre derive de la fonction f->sinx au point x la limite si elle existe du taux de variation de f entre x et x+h quand h tend vers 0. Ce nombre dérivé noté f'(x), verifie:
f'(x)= lim f(x+h) - f(x) /h (h->0)
b) En utilisant la formule trigonométrique:
sina - sinb = 2sin ((a-b))/2 cos ( (a+b)/2)
prouver que:
(sin(x+h) - sinx)/h = (sin(h/2))/(h/2)*cos(x+(h/2)
Si quelqu'un pige qu'il me le dise.
c) En déduire que la fonction sinus est derivable sur R , puis donner sa dérivée.
Beh je sais pas le demontrer mais sa derivée est cosx.
3) En utilisant coxx = sin ((pi/2) - x), deduire de la question 2) la derivée de la fonction cosinus.
Sais toujours pas comment le demontrer mais le resultat est -sinx
Si quelqu'un a donc la gentilesse de me repondre ce sera très sympa.
Merci d'avance.
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Envoyé par amaew 