Erreur type sur l'écart-type

[Dlzlogic]

Un lien intéressant qui montre que "au hasard" est une notion à prendre avec des pincettes en probabilité: http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Bertrand

Bonjour,
Je me suis amusé à faire une "machine à dessiner une corde".
Le principe est le suivant : une corde est l'intersection d'une droite et d'un cercle, si cette intersection existe.
Une droite est définie par 2 points, c'est à dire 4 valeurs, X1, Y1, X2, Y2.
Je détermine ces 4 valeurs à l'aide d'un générateur de nombres pseudo-aléatoire, la corde, si elle existe, est donc définie sans aucune hypothèse plus ou moins intuitive, sa position ne dépend que du hasard.
Le résultat est le suivant : 75% de cordes sont inférieures au côté du triangle équilatéral inscrit.
Cette valeur a été obtenue par 1100 essais (821 inférieurs et 279 supérieurs), effectués par groupe de 100.
Les valeurs extrêmes observées sont 69/31 et 83/17.
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[leon1789]

Ok, mais tu as oublié de spécifier la manière de construire le cercle (j'imagine qu'il est fixé durant toute l'expérience, mais quels sont son centre et son rayon ?),
ainsi que la manière de choisir aléatoirement les 4 valeurs X1, Y1, X2, Y2 (j'imagine qu'elles ont été choisies suivant la loi uniforme entre deux bornes min et max, mais lesquelles ?)

[Dlzlogic]

Ok, mais tu as oublié de spécifier la manière de construire le cercle (j'imagine qu'il est fixé durant toute l'expérience, mais quels sont son centre et son rayon ?),
ainsi que la manière de choisir aléatoirement les 4 valeurs X1, Y1, X2, Y2 (j'imagine qu'elles ont été choisies suivant la loi uniforme entre deux bornes min et max, mais lesquelles ?)

C'est une question intéressante sur le point de vue de la discussion, mais mathématiquement, ça n'a aucun intérêt.
Si on considère que le rayon du cercle est 1.0, alors la limite de test du centre à la corde est 0.5.
Si on prend un rayon de 1000 alors on teste avec 500.
Si la distance du centre à la droite est supérieure à la valeur prise pour le rayon, alors il n'y a pas d'intersection, et pas de corde.
Mathématiquement, on pourrait dire que à une translation et une homothétie près, tout est pareil.
Mais je crois deviner dans ta réponse que j'ai pris des hypothèses qui "forcent" le hasard. Fais-donc une contre expérience.

[leon1789]

C'est une question intéressante sur le point de vue de la discussion, mais mathématiquement, ça n'a aucun intérêt.

Ce qui n'a aucun intérêt, c'est de donner des résultats d'une expérience que personne ne peut refaire.
Pour l'instant, avec ce que tu as précisé, on ne peut pas refaire ton expérience.

Si on considère que le rayon du cercle est 1.0, alors la limite de test du centre à la corde est 0.5.
Si on prend un rayon de 1000 alors on teste avec 500.
Si la distance du centre à la droite est supérieure à la valeur prise pour le rayon, alors il n'y a pas d'intersection, et pas de corde.
Mathématiquement, on pourrait dire que à une translation et une homothétie près, tout est pareil.

Comment calculer la distance entre la droite (tirée au hasard suivant un certain protocole qui reste à spécifier complètement)
et le centre du cercle si on ne précise pas où est le centre ??

Ok, le rayon du cercle est 1, et où est le centre ? en (0,0) ?

Et quelles sont les bornes entre lesquelles tu tires les 4 valeurs x1,y1,x2,y2 ?

Mais je crois deviner dans ta réponse que j'ai pris des hypothèses qui "forcent" le hasard. Fais-donc une contre expérience.

Il n'y a pas à forcer le "hasard", mais à décrire complètement l'expérience aléatoire que tu mènes. Pour cela, il suffit de préciser ce que je te demande, pas d'avantage.

[Dlzlogic]

int main()
{
/*
Paradoxe de Bertrand
Soit une corde choisie au hasard, probabilité qu'elle soit plus grande que
le côté du triangle équilatéral inscrit.
soit un carré 3x3, 4 coordonnées x1,y1,x2,y2, soit la droite ne coupe pas le cercle
1.5;1.5 R=1
soit la corde est inférieure au côté, soit supérieure
*/
  randomize();
  #define MAXI 100
  int Ext=0;
  int Inf=0;
  int Sup=0;
  double X1,Y1,X2,Y2;
  double Xc=3.0;
  double Yc=3.0;
  int i=0;
  while ( i < MAXI )
  {
    X1=frandom(6.);  // donc de 0 à 100
    Y1=frandom(6.);  // donc de 0 à 100
    X2=frandom(6.);  // donc de 0 à 100
    Y2=frandom(6.);  // donc de 0 à 100
    double a,xh,yh;
    if (fabs(X2-X1)<fabs(Y2-Y1))
    {
      if(fabs(Y2-Y1) < 1.E-50)
      {
        Ext++;
        continue;
      }
      else
      {
        a=(X2-X1)/(Y2-Y1);
        yh=(a*(Xc-X1))+(Yc-Y1)/(a*a+1);
        xh=a*yh;
      }
    }
    else
    {
      if((X2-X1) < 1.E-50)
      {
        Ext++;
        continue;
      }
      else
      {
        a=(Y2-Y1)/(X2-X1);
        xh=(a*(Yc-Y1)+(Xc-X1))/(a*a+1);
        yh=a*xh;
      }
    }
    double D = sqrt((Xc-xh)*(Xc-xh) + (Yc-yh)*(Yc-yh));
    if (D > 1.0) Ext++;
    else if ( D > 0.5) {Inf++; i++;}
    else {Sup++; i++;}
  }
  fprintf(ecr,"100 essais Ext=%d  Inf=%d  Sup=%d\n",Ext,Inf,Sup);
  fclose(ecr);
  system("Pause");
  return 0;
}

Voila

[leon1789]

Si je comprends bien, le centre du cercle est en C = (3,3) , c'est bien ça ?
La fonction frandom(6.) retourne un nombre flottant entre 0 et 6, c'est bien ça ?

H = (xh, yh) est le projeté orthogonal du centre C sur la droite, c'est bien ça ?
et enfin D la distance entre C et H.

[Dlzlogic]

Bon, la réponse est oui pour tout, mais c'est pas ça qui est important.
Quelles que soient les coordonnées du centre du cercle et le domaine de définition des valeurs des X et Y, la seule chose importante est la comparaison de la distance du point C (centre du cercle) à la droite.
Si > R alors pas d'intersection
Si D compris entre R/2 et R, alors corde < côté du triangle équilatéral inscrit
Sinon, corde > côté du triangle.
Ce "paradoxe" montre simplement qu'une analyse un peu rapide peut amener à des résultats faux.
Il n'y a ni mystère, ni paradoxe, juste un piège mathématique.
Le caractère "hasard" n'a rien à voir ici.

[leon1789]

Bon, la réponse est oui pour tout, mais c'est pas ça qui est important.

Ok, alors ce n'est pas important que tu te sois trompé sur le calcul de H, qui est pourtant crucial pour cet exemple.
Exemple : si x1 = 3 (= xc) , x2 = 0 , et y1 = y2 = 1 on obtient xh=yh=0, ce qui n'est pas le bon point.

Ce "paradoxe" montre simplement qu'une analyse un peu rapide peut amener à des résultats faux.
Il n'y a ni mystère, ni paradoxe, juste un piège mathématique.
Le caractère "hasard" n'a rien à voir ici.

Justement, c'est l'expression "choisir au hasard" qui pose souci quand on ne spécifie rien de ce "hasard". Croire qu'il n'y a qu'une seule manière de tirer au sort, c'est très très naïf. Dans le document cité, c'est pourtant bien expliqué :

Le paradoxe de Bertrand met en évidence la dépendance à la méthode de sélection d'une corde « au hasard ». Dès que cette méthode est spécifiée, le problème possède une solution bien définie. En l'absence d'une telle méthode, le terme « au hasard », dans « choisir une corde du cercle au hasard », est ambigu. Les trois solutions présentées par Bertrand correspondent à des méthodes de sélection distinctes et valables, et en l'absence d'autre information, il n'y a aucune raison d'en privilégier une par rapport aux autres.

Par exemple, dire "je tire un nombre au hasard, je choisi une droite au hasard, etc." ne signifie rien tant qu'on a pas spécifié un protocole précis : en effet, on peut tirer des nombres et des droites au hasard de manières très différentes et cela amènent à des conclusions toutes différentes, bien que toutes correctes. Spécifier le protocole d'une expérience aléatoire, c'est comme spécifier les hypothèses d'un théorème, c'est indispensable. Chacun d'entre nous doit le comprendre s'il a la prétention de parler probabilités.

[invite6754323456711]

Justement, c'est l'expression "choisir au hasard" qui pose souci quand on ne spécifie rien de ce "hasard".

Interprétation bayésienne : résolution du problème par E.T Jaynes utilisant le principe dit "d'ignorance maximale"

Patrick

[Médiat]

Bonjour,

Les digressions sur le paradoxe de Bertrand, Bayes, et autres impossibilités de trouver une autre loi que la loi normale étant totalement hors sujet, tout retour à ces sujets seraient modérés sans préavis et sans distinction.

Médiat, pour la modération.