Bonjour, jusque là, je n'avais pas de problèmes sur les matrices, mais là, je viens de tomber sur un exo qui demande un peu plus de réflexion et sur lequel je n'y arrive pas.
1. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3. On considère la matrice carrée d’ordre n :
A =0111
1011
1101
1110
a) Que vaut det A?
j'ai trouvé det A= 2 (Car si je fais facilement avec les matrices 3*3, comme j'utilise la meme méthode de 3*3 pour 5*5 je pense qu'il y a une meilleure méthode pour éviter la marge d'erreur.)
(b) On pose : J = A + In. Que vaut det J ?
la matrice identité vaut 1, donc det J= det A+ det In= 2+1=3
(c) Calculer : J^2.
(on additionne les nombres de la même colonne à chaque fois, donc 5 fois le nombre de la colonne partout).
55555
55555
55555
55555
55555
(d) Déterminer, pour tout entier naturel non nul k : J^k.
j^5 mais comme c'est plutôt multiplié par 5 je ne suis pas sur.
(e) En déduire, pour tout entier naturel non nul k, l’expression de A^k en fonction de A et de In.
on sait que J^k= (A+ In)^k
donc selon le binome de newton, non, puisque qu'on se retrouve toujours avec J.
Non je ne sais pas trop
(f) Déterminer l’ensemble des vecteurs
x1
... (entre parenthèses de haut en bas)
xn
tels que J
x1 0
... = 0
xn 0
(c’est le « noyau »
de la matrice J).
On fait sous la forme d'un système linéaire à cinq équations.
Or ça s'annule dès le coefficient 1 donc le noyau est (0;0;0;0;0)
bref je ne suis pas sur mais d'après la méthode de Gauss ce serait ça.
(g) Déterminer l’ensemble des vecteurs
x1
...
xn
tels que (A − (n − 1) In)
x1 0
...= 0
xn 0
(c’est le « noyau » de la matrice (A − (n − 1) In)).
là comme il n'y a pas de chiffres explicites mais que des (n-1) je suis un peu perdu.
Voilà et merci d'avoir lu
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et tu n'est pas sans savoir que si 2 colonne ou 2 ligne sont égales alors le Det = 0. ( ce qui signifie aussi que ton Det A dois etre faut mais je n'ai pas calculé )
Envoyé par Zabour 