matrice

[Zabour]

Bonjour, jusque là, je n'avais pas de problèmes sur les matrices, mais là, je viens de tomber sur un exo qui demande un peu plus de réflexion et sur lequel je n'y arrive pas.

1. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3. On considère la matrice carrée d’ordre n :
A =0111
1011
1101
1110
a) Que vaut det A?

j'ai trouvé det A= 2 (Car si je fais facilement avec les matrices 3*3, comme j'utilise la meme méthode de 3*3 pour 5*5 je pense qu'il y a une meilleure méthode pour éviter la marge d'erreur.)

(b) On pose : J = A + In. Que vaut det J ?
la matrice identité vaut 1, donc det J= det A+ det In= 2+1=3
(c) Calculer : J^2.

(on additionne les nombres de la même colonne à chaque fois, donc 5 fois le nombre de la colonne partout).
55555
55555
55555
55555
55555

(d) Déterminer, pour tout entier naturel non nul k : J^k.

j^5 mais comme c'est plutôt multiplié par 5 je ne suis pas sur.


(e) En déduire, pour tout entier naturel non nul k, l’expression de A^k en fonction de A et de In.

on sait que J^k= (A+ In)^k
donc selon le binome de newton, non, puisque qu'on se retrouve toujours avec J.
Non je ne sais pas trop

(f) Déterminer l’ensemble des vecteurs

x1
... (entre parenthèses de haut en bas)
xn



tels que J

x1 0
... = 0
xn 0

(c’est le « noyau »
de la matrice J).

On fait sous la forme d'un système linéaire à cinq équations.
Or ça s'annule dès le coefficient 1 donc le noyau est (0;0;0;0;0)
bref je ne suis pas sur mais d'après la méthode de Gauss ce serait ça.

(g) Déterminer l’ensemble des vecteurs

x1
...
xn
tels que (A − (n − 1) In)

x1 0
...= 0
xn 0

(c’est le « noyau » de la matrice (A − (n − 1) In)).

là comme il n'y a pas de chiffres explicites mais que des (n-1) je suis un peu perdu.

Voilà et merci d'avoir lu
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[Blead]

Bonjour,

Pour commencer, tu écris A comme une matrice 4x4, tu parle d'ordre n, et apres tu parle de 5x5, et J tu l'écris comme une 5x5. Il doit y avoir une erreur dans ce que tu as écris.

On ne peux pas trop faire la suite si A est mal rediger.

Cdt

[Zabour]

Erreur d'étourderie, j'ai oublié des chiffres, voici la matrice A au grand complet.

01111
10111
11011
11101
11110

[Blead]

Bonsoir,

Je ne pense pas que Det J = 3, car J = et tu n'est pas sans savoir que si 2 colonne ou 2 ligne sont égales alors le Det = 0. ( ce qui signifie aussi que ton Det A dois etre faut mais je n'ai pas calculé )

Donc tu as J²= 5J, donc J³= J².J = 5J²= 25J ... donc J^k= .. Je te laisse trouver et démontrer par une récurence tellement évidente qu'il n'est je pense pas necessaire de la faire.


De ce fais la e) devrais ce faire comme tu le pense, je vois plus du A^k = ( J - I )^k comme on te demande A^k en fonction de A et I.

la f) , tu veux les ?

Ca te donne un système avec une seule équation et 5 inconnues, car toutes les équations sont identiques. Donc tu as une inconnue en fonctions des 4 autres. Ca te fais qui est générateur du noyau.

Ton resultat me semble faut car si Ker J = {(0,0,0,0,0)} cela voudrais dire que J est inversible or ce n'est pas le cas.

Je ne comprend pas pourquoi tu écris I_n et si on travail en 5x5

Pour la g), le problème est que ce n'est pas claire dans la mesure ou il y a A, matrice 5x5, et I_n matrice n x n .


Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

(b) On pose : J = A + In. Que vaut det J ?
la matrice identité vaut 1, donc det J= det A+ det In= 2+1=3

Le déterminant n'est pas additif.