Bonjour tout le monde,
Je sais que l'erreur type sur l'estimation d'une variance est racine carrée de (sigma^4 / n-1). Mais quelle serait l'erreur type associée à l'estimation d'un écart-type? Serait-ce seulement la racine carrée de la valeur de l'erreur type sur l'estimation d'une variance?
Merci d'avance pour votre aide!
il faudrait préciser de quel estimateur il s'agit.
Voici le problème :
(a) Calculer une estimation pour la moyenne de chaque variable ainsi que l’erreur type associée. Vous donnerez les commandes R pour la variable Poids seulement.
(b) Calculer une estimation pour l’écart-type de chaque variable ainsi que l’erreur type associée. Vous donnerez les commandes R pour la variable Poids seulement.
Pour a), nous avons ceci :
Commandes R :
i) Estimation de la moyenne
> numSummary(Huitres[,"Oyster_Weight_g"], statistics=c("mean", "sd"), quantiles=c(0,
+ .25,.5,.75,1))
mean sd n
11.05333 3.09837 30
On calcule par la suite l'erreur-type associée comme étant s/racine(n), soit dans cet exemple 3.09837/(30)^1/2
Est-ce exacte tout d'abord?
Puis pour b), notre logique voulait que nous avions la même commande R, mais si c'est bien cela, nous aurions le même sigma et ainsi les même valeurs?
C'est ici que nous bloquons et une aide serait grandement appréciée.
Merci!
Personne n'a une piste de solution pour nous aider à compléter cette question?
Bonjour,
Le titre me gène énormément.
Un écart-type est directement lié au résultat. Il n'y a absolument pas lieu de chercher l'erreur sur une erreur, ou l'écart d'un écart, ou la probabilité qu'un calcul de probabilité soit bon.
Si vous faites une observation, une mesure, une expérience, quel que soit son nom, vous obtenez une valeur qu'on appelle l'espérance et l'écart-type qui correspond à quelque-chose de très précis. Et c'est tout.
Dlzlogic,
sur un autre forum, tu as montré tes connaissances très limitées ne serait-ce que sur les définitions de variance et d'écart-type : http://www.maths-forum.com/question-...ype-125391.php
Donc encore une fois (parmi tant d'autres !), à quoi bon intervenir en donnant tes idées définitives "il n'y a pas lieu... et c'est tout..." sur un sujet que tu ne comprends pas ?
Ici, il est question d'estimation d'écart-type. Par exemple, on peut vouloir estimer l'écart-type d'une énorme population en observant seulement un petit échantillon : l'écart-type de l'échantillon n'est qu'une approximation de l'écart-type de la population totale, et il est intéressant de connaître l'erreur type que l'on commet par cette approximation.
Léon,
Si tu peux apporter une réponse à Gmc, fais-le sans hésiter.
Par contre ton intervention n'est pas souhaitable.
J'explique des notions que tu ignores, aurais-je tellement d'imagination ?
Petit exemple auquel tu fais référence dans le lien cité : le diviseur dans le calcul de l'écart-type, N ou N-1. Tu dis que c'est selon que c'est biaisé ou non, ce qui est écrit dans l'article de vulgarisation, c'est un peu court, qu'est-ce que cela représente réellement pour toi?
Un écart-type est le résultat d'un calcul. D'après une série d'observation, on calcule un écart type. Cela donne la précision du résultat.
Pour connaitre la précision de cet écart-type, il n'y a pas d'autre solution que de faire d'autres sondages, expériences. Et c'est justement là ou ça devient très grave, on déduit un écart sur un écart-type à partir d'une seule expérience. Sur le papier, ça marche très bien, mais le résultat n'a aucun rapport avec la réalité.
Bien-sûr, je peux le démontrer.
pas nécessairement. La question que pose (mal) statbio777, est celle de la précision d'un estimateur de l'écart-type d'une variable aléatoire. Il ne précise pas de quel estimateur il s'agit, mais on peut imaginer que c'es simplement la racine carrée de l'estimateur des moments "débiaisé" de la variance. On peut très bien calculer l'écart-type de cet estimateur, à condition de modéliser la loi de la variable aléatoire en question, ce qui est très classique en statistiques (on ne va pas avoir de résultat "distribution-free" ici, à cause de la racine carrée). Si on ne veut pas modéliser la loi, on peut faire une approximation (la méthode-delta comme qu'on l'appelle)Envoyé par Dlzlogic
Dlzlogic,
J'imagine que tu vas continuer à troller cette discussion (comme tu le fais ou l'a fait sur différents forums : ici, maths-forum , les-mathematiques.net, ... ).
Mon intervention a pour but de mettre en garde les lecteurs de cette discussion sur le contenu de tes messages qui sont généralement remplis de contre-vérités mathématiques.
Léon,
Comme réponse, ci-dessous une intervention que j'ai faite il y a deux jours:
Ta réponse :Moi, je le perçois comme "Donner une valeur de probabilité que ce calcul de probabilité est bon".
On fait un calcul de probabilité on obtient un nombre, souvent un pourcentage. On peut savoir (ou on devrait savoir) quelles sont les limites min et max de cette valeur (cf. lien d'une réponse d'hier) mais dire "il y une probabilité de 95% que le résultat soit 52.12% pour M. Intel" me parait un peu étonnant.
@Charlie,Cette dernière phrase, personne ne l'a jamais dit : en math, on ne donne pas de valeur probable (qui n'a aucun chance d'être la bonne), mais un intervalle (qui a de forte chance, a priori, de contenir la valeur exacte).
Je sais bien que ce type de question est courant en statistique, je n'en comprends pas trop bien ni l'intérêt ni la signification. Je ne donnais que mon avis. Je sais bien qu'une formule donne le résultat.
@MM. les modérateurs : une discussion du même genre a déjà eu lieu, avec la même agressivité. Vous avez été obligé de la fermer. En sera-t-il de même aujourd'hui ?
l'intérêt de connaître la précision d'un estimateur me semble évident. Je n'ai pas d'exemple en tête avec l'écart-type, parce que c'est un paramètre moins souvent utilisé que la variance (sauf par les physiciens peut-être, qui l'appellent "rmse").
Si je considère la variance, je pense à cet exemple (c'est hors-sujet): en théorie de l'évolution, on montre que les stratégies de reproduction des mâles et des femelles d'une espèce sont conditionnées par la variance du nombre de descendants de chaque genre. Chez les humains par exemple la variance du nombre de descendants d'un homme est très supérieure à ce qu'elle est pour une femme. C'est bien connu et la différence est suffisamment marquée pour qu'on n'ait pas à se préoccuper de l'erreur sur les variances estimées. Mais si on s'intéresse à une autre espèce, on va se poser la question d'une différence entre ces variances des progénitures mâle et femelle, et il faudra bien estimer les variances et tester leur identité.
Tu vois, ça finit par sortir peu à peu : tu aurais dû commencer par dire que tu ne "comprends pas trop bien ni l'intérêt ni la signification" de la question, avant d'y répondre de manière fermée par "il n'y a pas lieu... et c'est tout...".
Effectivement, la question se pose à nouveau, et pour cause...
Dlzlogic, quand tu décideras d'arrêter d'écrire des contre-vérités (parfois subtiles, parfois énormes) et que tu voudras comprendre ce que beaucoup (ici ou ailleurs) t'ont expliqué avec patience, alors les discussions reprendront normalement. Mais comme tu continues encore et toujours à agir de la même manière (ici et ailleurs), c'est que tu cherches à provoquer la réaction négatives des gens (qui finissent par te connaître). Ne t'en plains pas, c'est surtout les forums qui en souffrent.
Dernière modification par leon1789 ; 04/12/2012 à 16h45.
C'est exactement cela.
Cependant, à la question a), nous devions déterminer la moyenne de l'échantillon et en estimer l'erreur-type.
Avec R, on obtient pour la variable Poids une moyenne de 11.05333, un sd (écart-type) de 3.09837 sur un échantillon de 30 sujets.
Notre estimation de la moyenne est donc de 11.05333 et l'erreur-type associée correspond à sd/(n)^1/2 = 0.56568. Est-ce exact?
Puis, pour estimer l'écart-type, nous devons le faire via le logiciel R.
> numSummary(aDataset[,"Oyster_Weight_g"], statistics=c("mean", "sd", "IQR",
+ "quantiles"), quantiles=c(0,.25,.5,.75,1))
mean sd IQR 0% 25% 50% 75% 100% n
11.05333 3.09837 5.185 5.22 8.285 10.855 13.47 17.42 30
On obtient les mêmes valeurs qu'en a) puisque c'est la même commande qui détermine l'estimation de la moyenne et de l'écart-type, vrai?
Donc, à la question qu'elle est l'estimation de l'écart-type et l'erreur type associée, comment y répondre?
L'écart-type sera de 3.09837 dans cet exemple j'imagine, mais comment déterminer l'erreur-type associée à cette valeur?
Merci à tous, c'est très apprécié.
edit : pour ce qui est de l'estimateur, nous ne sommes pas en mesure d'identifier ce que R choisi pour effectuer la commande.
Autrement, nous allons dans l'onglet Statistiques, puis Résumé et finalement Statistiques descriptives...
À tout ceux pour qui ça pourrait être utile dans un avenir quelconque, voici la réponse à notre interrogation.
L'erreur-type associé à l'estimation de l'écart-type correspond à √((√2 σ^2)/√(n-1)) .
Merci,
Où peut-on trouver la justification ?
Bonjour,
J'avoue que j'ai un peu de mal à comprendre. J'ai fait une simulation de 20 jeux de tirages aléatoires de nombres entre 0 et 100, c'est à dire que la moyenne vraie est 50.
Le premier jeu comporte 10 tirages, le nombre de tirages est incrémenté de 10 chaque fois, le 20è jeu comporte donc 200 tirages. Pour chaque jeu, je calcule la moyenne et l'écart-type, noté emq, ainsi de l'écart-type sur l'écart-type dont il est question ici. Voici le résultat :
On constate que la moyenne observée est très proche de la moyenne théorique, appelée moyenne vraie, et ne dépend pas du nombre de tirages d'un jeu.Code:Jeu : 1 NbM=10 Moyenne=50.90 emq=29.04 EEMQ=19.91 Jeu : 2 NbM=20 Moyenne=56.95 emq=30.06 EEMQ=17.10 Jeu : 3 NbM=30 Moyenne=54.93 emq=30.03 EEMQ=15.37 Jeu : 4 NbM=40 Moyenne=50.25 emq=31.06 EEMQ=14.76 Jeu : 5 NbM=50 Moyenne=50.88 emq=27.33 EEMQ=12.27 Jeu : 6 NbM=60 Moyenne=49.02 emq=29.24 EEMQ=12.53 Jeu : 7 NbM=70 Moyenne=42.26 emq=31.04 EEMQ=12.79 Jeu : 8 NbM=80 Moyenne=48.00 emq=26.24 EEMQ=10.45 Jeu : 9 NbM=90 Moyenne=52.12 emq=29.29 EEMQ=11.32 Jeu : 10 NbM=100 Moyenne=47.86 emq=29.85 EEMQ=11.24 Jeu : 11 NbM=110 Moyenne=53.91 emq=27.39 EEMQ=10.06 Jeu : 12 NbM=120 Moyenne=49.44 emq=29.30 EEMQ=10.54 Jeu : 13 NbM=130 Moyenne=50.58 emq=27.26 EEMQ=9.60 Jeu : 14 NbM=140 Moyenne=48.66 emq=29.71 EEMQ=10.27 Jeu : 15 NbM=150 Moyenne=47.85 emq=29.03 EEMQ=9.87 Jeu : 16 NbM=160 Moyenne=48.96 emq=30.98 EEMQ=10.36 Jeu : 17 NbM=170 Moyenne=52.45 emq=30.89 EEMQ=10.17 Jeu : 18 NbM=180 Moyenne=53.69 emq=29.16 EEMQ=9.47 Jeu : 19 NbM=190 Moyenne=52.33 emq=29.56 EEMQ=9.47 Jeu : 20 NbM=200 Moyenne=48.42 emq=28.79 EEMQ=9.10 Moyenne générale= 50.47 EMQ général= 3.16
Il en est de même de l'écart-type qui est pratiquement constant quel que soit le nombre de tirages. Ceci vérifie naturellement la loi normale et la répartition des écarts à la moyenne.
Je rappelle que l'écart-type est tel que la moitié des résultat est compris entre -2/3 emq et 2/3 emq.
Par contre, la valeur EEMQ (écart-type sur l'écart-type) décroit. Je ne comprends donc pas à quoi il correspond.
Le tirage a été fait avec le générateur de nombre pseudo-aléatoire rand().
J'imagine que tes tirages aléatoires suivent la loi uniforme, dont la moyenne est effectivement 50 et l'écart type.
La moyenne observée tend vers la moyenne théorique quand le nombre de tirages augmente.
L'écart-type observé est un estimateur de l'écart-type de la loi uniforme, qui est 29.15.
As-tu une référence pour affirmer que la loi de distribution des écarts types empiriques est la loi normale ?
Je précise que ceci est vrai uniquement pour la loi normale, et faux pour toute autre loi en général...
Personnellement, je ne comprends pas tes résultats sur l'écart-type des écart-types : 19 me paraît tout simplement énorme !
Après simulation, de mon coté je trouve 1.33 pour écart-type sur les écart-type...
Bonsoir,
Encore une fois ton seul but est de m'agresser. Je n'y attache plus d'importance, ça doit être normal.
J'ai appliqué la formule citée, mais j'ai peut-être fait une erreur.Personnellement, je ne comprends pas tes résultats sur l'écart-type des écart-types : 19 me paraît tout simplement énorme !
Après simulation, de mon coté je trouve 1.33 pour écart-type sur les écart-type...
Concernant le reste de tes réponses, tu sais bien que ça correspond strictement à ce que j'ai déjà dit de nombreuses fois. Mais j'avoue que je ne m'encombre pas d'hypothèses de probabilités non vérifiable par simulation( cf un autre forum).
En d'autres termes, toute expérience aléatoire respecte la loi normale. Je veux bien admettre que ce n'est pas vrai si on me montre un exemple contraire. (mais, par pitié, pas des histoires de salaire ou des trucs du même genre).
Par ailleurs, tu sais bien que tu n'est pas crédible, alors calmons-nous.
Bonne soirée.
Comme je disais plus haut : "Mon intervention a pour but de mettre en garde les lecteurs de cette discussion sur le contenu de tes messages qui sont généralement remplis de contre-vérités mathématiques." Et en voici encore la preuve.
Toi même, tu as tiré des nombres au hasard entre 0 et 100, en suivant la loi uniforme... et tu oses encore dire (après toutes les explications qu'un certain nombre de mathématiciens t'ont données sur d'autres forums) que toute expérience aléatoire respecte la loi normale. C'est à mourir de rire.
Voilà, je pense que tout lecteur pourra maintenant apprécier tes connaissances et compétences dans le domaine des statistiques et probabilités
Je suis très calme, pas de souci, et bien sûr je ne suis pas crédible ... comme tous ceux qui t'ont déjà expliqué tes erreurs (ici ou sur d'autres forum).
Tu sais, en mathématiques, la preuve de ce que l'on dit ou contre-dit est considéré comme une notion fondamentale.
Fin de discussion.
Bonjour Léon,
Je pense qu'un mathématicien doit avoir un minimum de mémoire à défaut de bonne foi.
Souviens-toi l'exercice (sur un autre forum) ou il s'agissait de trois roues de foire à simuler avec Excel.Toi même, tu as tiré des nombres au hasard entre 0 et 100, en suivant la loi uniforme... et tu oses encore dire (après toutes les explications qu'un certain nombre de mathématiciens t'ont données sur d'autres forums) que toute expérience aléatoire respecte la loi normale. C'est à mourir de rire.
J'attends toujours un exemple d'expérience aléatoire, au hasard, (je sais on m'a déjà dit que c'était un pléonasme, mais on m'a aussi répondu "hasard de quelle loi") qui ne respecte pas la loi normale.
Naturellement des expériences dont les résultats sont des transformées par des fonctions quelconques sont à exclure.
Je tiens à préciser qu'il doit d'agir d'expérience dans le monde réel, c'est à dire de dimension finie. Il y a eu un très bon exemple faisant l'objet d'un exercice : la pêche au saumon.
D'ailleurs, si tu as le temps, relis le théorème de la limite centre (TCL).
Pour reprendre les termes que tu emploies "un tirage aléatoire suivant une loi uniforme respecte la loi normale", c'est comme ça, on n'y peut rien, et c'est d'ailleurs grâce à ça qu'on peut vérifier qu'un résultat n'a pas été trafiqué.
Bonjour Dlzlogic,
je vois que tu es poli, calme, gentil, mais le problème est que tout est gâché par ton ignorance mathématique coiffée de ton obstination à ne rien vouloir comprendre et à polluer les discussions de tes incohérences...
Sois de bonne foi, reconnais que tu n'as pas le bagage suffisant (tout le monde te le dit !!) et arrête de jouer le troll...
Oui, effectivement, quand on tire au hasard, on doit préciser la loi suivant laquelle on fait les tirages, c'est le b-a-ba...
Quand tu dis " j'utilise la fonction rand() ", tu simules avec tes petits doigts la loi uniforme... même si tu penses qu'il n'existe que la loi normale.
Ha oui, la pêche au saumon, c'est une belle référence !
si tu as le temps, relis un livre de 2nde générale où on présente quelques lois élémentaires autres que la loi normale.
Tu écris des choses absurdes car tu confonds tout, malgré une tonne d'explications en long, large et travers (sur math-forum).
Arrête de polluer inutilement le forum !!!!!!!!!!!
Je l'avais dit depuis mon premier message, mais visiblement la modération ne fait rien contre ce massacre de discussion.
Dernière modification par leon1789 ; 07/12/2012 à 13h13.
Une référence : http://web.eecs.umich.edu/~fessler/p.../tr/stderr.pdf
Merci pour l'excellent papier, j'ajouterai la page wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Chi_distribution
en effet l'estimateur Sn-1 * √(n-1)/σ ~ chin-1
l'écart type de cet estimateur est
σSn-1 ≈ σ/√(2*(n-1))
ceci néglige un terme impliquant la fonction gamma qui s'approche rapidement de 1 quand n grandit
En ce qui me concerne je retient que pour estimer un écart type d'une distribution normale avec 1% d'erreur, il faut faire 5000 tirages....
Bonjour,
Cette valeur de 5000 tirages nécessaires pour avoir la précision recherchée résulte-t-elle d'un calcul théorique ou d'expériences réelles ?
Un lien intéressant qui montre que "au hasard" est une notion à prendre avec des pincettes en probabilité: http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Bertrand
Oui, intéressant.
Mais ce n'est pas un paradoxe, c'est l'art d'étudier un problème de façon, soit en trouver la solution, soit trouver une explication quelconque, bien plausible, de façon à faire croire qu'il n'y a pas de solution, ou qu'il en a plusieurs.
Pour ce paradoxe, posez plutôt la question de la façon suivante : "On trace sur le sol une ligne droite. On lance un cerceau. Si le cerceau coupe la ligne, quelle est la probabilité que etc. suite du problème ...". Il n'y a plus d’ambigüité sur l'interprétation, donc plus de paradoxe.
Je sais qu'on aurait tendance à remplacer le terme "hasard" par "chaotique", mais le résultat est le même.
En tout cas, on sait très bien que la répartition de tirages "au hasard", quelque soit le synonyme équivalent, est toujours conforme à la loi normale.
Pour être plus précis, il est impossible (sur terre) de réaliser une expérience "au hasard" (c'est à dire équiprobable, aléatoire et tout ce qu'on veut) qui ne respecte pas la répartition normale.
Compte tenu du nombre de fois où ce sujet a été abordé, de simples affirmations ou des liens sur des documents quelconques n'apporteront rien, seules des simulations avec résultats chiffrés ou des résultats d'expériences réelles présentent de l'intérêt.
Ceci explique pourquoi je trouve que 5000 expériences, c'est beaucoup. Le but étant de trouver le plus vite possible la moyenne, avec une sécurité sur la précision donnée, la précision sur l'écart-type ne présente pas beaucoup d'intérêt, ce qui est important, c'est la précision sur la valeur recherchée.
Il faudra préciser comment "on lance le cerceau" : si on ne précise pas comme on lance, alors il n'y a pas de réponse possible... C'est justement le problème soulevé dans le "paradoxe" de Bertrand.
Merci Dlzlogic, ça fait du bien de rire un peu
Tiens, je te propose de faire une simulation sur une expérience aléatoire dont on n'a pas encore parlé, me semble-t'il :
compter le nombre de lancés de dé (à 6 faces) pour obtenir le chiffre 6.
Est-ce que ce nombre de lancés suit une loi normale ? (il faudra préciser la moyenne et l'écart-type, expérimentalement, et voir si c'est bien une distribution normale... et en fait, c'est bien autre chose : c'est la loi géométrique)
Que veux-tu dire par "fonction d'arrêt" ? (je me dis qu'il y a toujours un arrêt dans les expériences)
Ma formation me permet de trouver plein de contre-exemples à ton affirmation << la répartition de tirages "au hasard" est toujours conforme à la loi normale >>, montrant ainsi que ton affirmation est fausse. L'expérience aléatoire que je propose (comme toutes celles que l'on t'a proposées depuis des mois, voire des années) ne suit pas la loi normale, cela se démontre rigoureusement, c'est un théorème. Il n'y a rien à espérer, c'est simplement un fait établi. Mais bon, ma formation n'a rien de spécifique, tout le monde est capable de te trouver de tels contre-exemples. Beaucoup l'on déjà, il n'y a aucun scoop à cela.
A moins que tu veuilles mettre l'accent sur "en espérant que ça va passer" ... je ne sais pas si j'espère encore, en effet.
Tu dis "en essayant de bien viser". Ma manière de lancer, c'est "en fermant les yeux". J'imagine que certains diront qu'ils lanceront "en tournant le dos"... On va pas avoir les mêmes manières de lancer, si ?
Il faut commencer par préciser mathématiquement la manière de lancer. Et pour spécifier une manière de lancer, on doit définir une variable aléatoire.
Le document sur le paradoxe de Bertrand (donné ci-dessus par taladris) montre bien l'importance de préciser les variables aléatoires, sinon il est illusoire de penser répondre correctement à quoi que ce soit.
On peut bien sûr trouver plein d'autres situations où les résultats diffèrent totalement en fonction des lois suivies par la(les) variable(s) aléatoire(s), c'est même assez simple.
Dernière modification par leon1789 ; 17/01/2013 à 20h52.
