[Topologie différentielle] Preuve du théorème de d'Alembert

[Seirios]

Bonjour à tous,

Je viens de lire la preuve du théorème de d'Alembert dans Topology from the differentiable viewpoint de J. Milnor (disponible ici, pages 8 et 9), et en essayant d'adapter la preuve au cas réel, j'aboutis à un résultat absurde :

Si l'on considère un polynôme , on peut le prolonger par continuité sur le compactifié d'Alexandrov de la droite réelle, ce qui permet de trouver une application lisse sur le cercle. En raisonnant de la même manière que pour la preuve du théorème de d'Alembert, il me semble que l'on peut déduire que si ne s'annule qu'au plus en un point (le cercle privé d'un point reste connexe), alors le polynôme est surjectif.

Mais ce résultat est bien sûr absurde, puisqu'il implique que doit avoir une racine réelle...

J'ai repris le raisonnement depuis le dédut, mais je n'y ait pas trouvé d'erreur. En voyez-vous une ?

Seirios
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[Médiat]

Bonjour,

Ce n'est pas ma spécialité, mais il me semble que :
The set of regular values of f , being a sphere with finitely many points removed, is therefore connected n'est pas transposable à S1

[Amanuensis]

Est-ce que P' ne s'annulerait pas au point ajouté à l'infini, par hasard ?

[Seirios]

Ce n'est pas ma spécialité, mais il me semble que :
The set of regular values of f , being a sphere with finitely many points removed, is therefore connected n'est pas transposable à S1

C'est exact, mais l'ensemble des points que l'on enlève correspond aux zéros de P', c'est pourquoi j'ai précisé que P' ne s'annule qu'au plus en un point.

Est-ce que P' ne s'annulerait pas au point ajouté à l'infini, par hasard ?

Effectivement, voilà l'erreur de mon raisonnement ! Finalement, pour adapter la preuve, il faut supposer que P' ne s'annule pas, mais alors la surjectivité de P est élémentaire

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]