Bonjour à tous,
Je bloque sur une démonstration ou l'on doit montrer le rang d'une famille de vecteurs dont voici l'énoncé :
On considère trois familles de 3 vecteurs :,
et
.
Chaque famille est linéairement indépendante, et tous les vecteurs appartiennent à. (q = 2^8)
Le but est de montrer que :
si rang, rang
et rang
alors :
rang.
Je me suis dit que pour cela, il suffit de démontrer que si je prends n'importe quel famille de 5 vecteurs parmi la famille, alors cette famille sera de rang 4.
Il y a 3 manières de prendre ces 5 vecteurs :
i : 3 dans une famille et 2 dans une autre famille.
Ce cas est trivial puisque le rang vaut alors 4 par hypothèse.
ii : le cas 2, 2, 1
iii : le cas 3, 1 ,1
Pour ces deux cas la, je suis parti comme ceci :
(puisque la famille est de rang 4)
![]()
En additionnant les deux premières équations, puis en substituant avec la 3 ème, on obtient :
Et je me retrouve donc dans le cas (iii) : 3 dans Y, 1 dans X, 1 dans Z.
D'ici on peut facilement retomber sur le cas 2,2,1 en remplaçantpar une combinaison linéaire de
.
En revanche je bloque sur le cas ou, auquel cas je ne peux plus exprimer
comme combinaison linéaire des
.
Si je reviens aux équations de départ, sialors
, mais je ne vois pas quoi en faire
Est-ce que je suis parti dans la bonne direction ou ai-je fait fausse route ??
Merci d'avance pour votre aide !
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