rang des applications lineaires representées par une meme matrice

[invite69d45bb4]

bonjour à tous

"soit A appartient à Mnp(K) soit E1 et E2 deux K-espaces vectoriels de dimension p munis de bases respectives b1 et b2; F1 et F2 deux K-espaces vectoriels de dimension n munis de bases respectives b'1 et b'2 .

soit u1 l'application lineaire de E1 dans F1 representé dans les base
b1 et b'1 par la matrice A .
u2 l'application lineaire de E2 dans F2 representées dans les bases b2 et b'2 par la matrice A

alors M b1 b'1 (u1)=M b2 b'2 (u2)


soit i l'isomorphisme de E1 dans E2 transformant la base b1 en b2 et j l'isomorphisme de F1 dans F2 transformant la base b'1 en b'2
les coordonnées dans b'1 des vecteurs de la famille u1(b1) etant les meme que celle dans b'2 des vecteurs de la famille u2(b2)
on a

j rond u1=u2 rond i


on en deduit que j Im(u1) = Im(j rond u1)=Im(u2 rond i)=Im(u2) "


je ne comprends pas du tout cette deduction.

pouvez vous m'aider svp

merci par avance
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[invite57a1e779]

Bonjour,

soit i l'isomorphisme de E1 dans E2 transformant la base b1 en b2 et j l'isomorphisme de F1 dans F2...

on a

j rond u1=u2 rond i

on en deduit que j Im(u1) = Im(j rond u1)=Im(u2 rond i)=Im(u2)

On a

en utilisant le fait que puisque est un isomorphisme.

[invite69d45bb4]

je comprends pas du tout le passage de la deuxieme à la troisieme ligne avec l'imùage.

[invite57a1e779]

C'est la définition même de l'image : si est une application linéaire de dans , alors .

[A voir en vidéo sur Futura]