Théoreme sur les courbes. Preuve

[invite1a04e71e]

Bonjour tout le monde.
Je suis en master de mathématique 1ere année, et je sèche sur un exercice de géométrie et analyse.. Pouvez vous me donner une petite indication s'il vous plait. Je vous donne l'énoncé :

Soit donné une fonction différentiable k(s). Montrer que la courbe planaire paramétrée ayant k(s) comme courbure est donnée par les équations suivantes :
f(s) = (intégrale de cos(téta(s))ds + a, intégrale de sin(téta(s))ds +b)
avec téta (s) = intégrale de k(s)ds + fie

La courbure ainsi obtenue est déterminée à translation près du vecteur (a,b) et à rotation près d'angle fie.

Je vous remercie d'avance.
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[Médiat]

f(s) = (intégrale de cos(téta(s))ds + a, intégrale de sin(téta(s))ds +b)
avec téta (s) = intégrale de k(s)ds + fie

Bonjour,
Si vous écriviez vos équations en utilisant Latex (http://forums.futura-sciences.com/fo...e-demploi.html), vous seriez plus lisible, donc plus lu, donc vous auriez plus de réponses.

Je suis gêné par vos équations telles qu'elles sont écrites : vos intégrales n'ont pas de bornes, et s est une variable libre dans les membres de gauche et une variable liée dans les membres de droite

[invite1a04e71e]

Alors je ré écris donc l'énoncé : s I
Montrer que la courbe planaire paramétrée ayant k(s) comme courbure est donnée par les équations suivantes :



avec

Mes intégrales n'ont pas de bornes en effet, je pense qu'elles sont définies sur I, car dans l'énoncé ce n'est pas mentionné non plus...

[Médiat]

J'ai toujours le même problème avec les variables :
ne dépend pas de s, alors que dépend de s (l'abscisse curviligne sans doute).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1a04e71e]

Oui je sais, j'ai exactement le même problème avec les variables. D'autant plus que je viens de me rendre compte que j'avais un autre exercice où là aussi, la courbure ne dépend pas de s... Donc je bloque...

[invité576543]

avec

Mes intégrales n'ont pas de bornes en effet, je pense qu'elles sont définies sur I, car dans l'énoncé ce n'est pas mentionné non plus...

Pas besoin, c'est implicitement sur un intervalle dont une borne est variable et l'autre fixe, comme par exemple :



avec

mais le choix du 0 est totalement arbitraire (si on le change, les valeurs de a et b changent), pourrait être -infini si tout converge.

Ensuite pour l'indice, est, au point f(s), l'angle que fait le repère de Frenet avec une direction fixe choisie arbitrairement (ce choix arbitraire est la constante manquante dans la seconde intégration). Cela se voit en dérivant f(s).

[Médiat]

avec

Et comme cela plus de problème de variable entre les membres de gauche et ceux de droite ; c'est bien à cette écriture que je voulais amener Marin3.

[invite1a04e71e]

D'accord je comprends mieux en effet. Mais mon problème en fait c'est que je n'arrive pas du tout a commencer la démonstration. Je pense avoir du mal avec l'énoncé et par conséquent je n'arrive pas a demarrer...

[Médiat]

je n'arrive pas a demarrer...

En calculant la courbure de f, par exemple.

[invité576543]

Et comme cela plus de problème de variable entre les membres de gauche et ceux de droite ; c'est bien à cette écriture que je voulais amener Marin3.

J'avais compris d'entrée, mais j'avais compris aussi que Marin comprenait que vous aviez un problème avec le paramétrage au même sens que lui avait un problème (ce que je savais être une mauvaise interprétation par Marin du message #4). Tout cela étant bien compliqué, j'ai choisi de couper court...

[Médiat]

j'ai choisi de couper court...

Mon message n'était pas un reproche, mais une confirmation.

[invite1a04e71e]

Alors, je viens de calculer la courbure de f, et le résultat que je trouve est le suivant :
k(s) = '(s). Et donc je remarque que si je dérive la donné (s) que j'ai dans mon énoncé cela marche. Mais, en fait j'ai un probleme de compréhension de l'énoncé. Il faut que je prouve que la courbe planaire a l'équation qu'on nous donne. Et on part de ce qu'on nous donne pour aboutir à un résultat cohérent. Cela veut donc dire que l'équation planaire est bien la bonne ? C'est cela ?

[invité576543]

Il faut que je prouve que la courbe planaire a l'équation qu'on nous donne.

Plus exactement que toute courbe planaire solution de l'équation "courbure en fonction de s = k(s)" est de la forme indiquée. En effet, la formule donnée ne correspond pas à une courbe planaire particulière, mais à toute une famille.

Ce à quoi on peut s'attendre, parce que la courbure est invariante par un groupe de symétrie particulier du plan (question intéressante : lequel ?), et que l'ensemble des solutions doit aussi être invariant par ce groupe.

[invite1a04e71e]

Bonjour à tous et à toutes... J'ai essayé de continuer, mais sans résultat... Et j'aurais une petite question à vous demander... Je trouve dans un exercice une courbure qui ne dépend pas du tout du temps. Est ce que cela est possible ? Cela veut il dire que la courbure est constante en fonction du temps ?

Je vous remercie.
Bon dimanche