Norme

[invite705d0470]

Bonjour

J'ai juste une petit question sur un exercice: on considère A,B des parties de R et on cherche des consitions nécessaires et suffisantes afin que les deux normes suivantes ( sur les polynômes réels ) et , lorsqu'elles existent, soient équivalentes, où par définition .

Seulement je trouve une CNS qui force A et B à être denses l'un dans l'autre (sans points isolés relativement en quelque sorte), mais alors les normes sont toujours égales ...
je ne vois pas bien comment on pourrait avoir équivalence des normes sans égalité !
Qu'en pensez vous ?
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[Seirios]

Bonsoir,

Pour ma part, je suis d'accord.

Déjà, les normes sont bien définiee ssi les parties sont bornées. Ensuite, par continuité des polynômes, , donc on peut travailler sur des parties fermées. Donnons-nous donc deux parties fermées A et B tels qu'il existe mais ; on peut alors trouver une suite de polynômes telle que et : La fonction (où est la distance à la partie B) est une fonction continue nulle sur B et non nulle en x (quitte à la multiplier par un scalaire, on peut même supposer qu'elle vaut 1 en x). D'après Stone-Weierstrass, il existe un polynôme tel que , puisque est compact ; dès lors, on a bien et . Cela prouve bien que les deux normes ne sont pas équivalentes.

NB : Il y a sans doute moyen de faire mieux, utiliser Stone-Weierstrass doit être un peu lourd, mais c'est la première chose qui m'est venue à l'esprit.