Montrer que si FuG est un sev alors FcG ou GcF

[invite93ca7f22]

Bonsoir,

Soient F, G deux sous-espaces vectoriels de E. Comment montrer que si FuG est un sev alors FcG ou GcF ?

Je n'ai strictement aucune idée.. Quelqu'un peut m'aider ?

Cordialement.
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[Seirios]

Bonsoir,

Tu peux raisonner par l'absurde et supposer qu'il existe x et y tels que , mais et , mais ; que peux-tu dire de ?

[invite93ca7f22]

Je crois avoir trouver une démonstration :

Supposons que FuG est un sous-espace vectoriel de E. Supposons que F n'est pas inclus dans G et montrons que GcF.
Soit g appartient à G. Comme F n'est pas inclus dans G, il existe f qui appartient à F tel que f n'appartient pas à G. Alors f et g appartiennent à FuG donc f + g appartient à FuG car FuG est stable par l'addition. Donc f+g appartient à F ou à G.
Si f+g appartient à G alors f = (f+g)-g appartient aussi à G car G est est stable par l'addition. Ce qui est absurde. Donc f+g appartient nécessairement à F. Finalement,
g = (f+g)-f appartient à F car F est stable par l'addition. On a donc montré GcF.

Est-ce juste ?

[invite179e6258]

c'est juste, sauf que la propriété que tu utilises n'est pas exactement la stabilité par addition.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite93ca7f22]

qu'est ce que c'est alors ?

[Seirios]

L'idée était la même que pour la méthode que je te proposais, qui est un peu plus courte. Soient x et y comme je les ai définis précédemment. Si , alors , ce qui est faux par hypothèse ; si , alors , ce qui est également faux par hypothèse. On en déduit que , ce qui contredit l'hypothèse selon laquelle est un espace vectoriel.