Curiosité : Un espace orthogonal à un sev qui n'est pas un sev

[Wiglie]

Bonjour, en faisant un exercice ( dont le theme n'est pas du tout lié à ma question )sur les espaces euclidiens j'ai recontré un cas contredisant : A une partie de est un sev

Je ne pense pas contredire 2 milénaires de mathématiques donc j'ai besoin d'aide pour trouver mon erreur

On considere et le produit scalaire associé :

On s'interesse maintenant à

On obtient facilement : Ou P = 0
( car ....)
Et c'est ici que reside mon probleme,



Pourtant : P-Q est de degré n-1 donc l'espace n'est pas stable par combinaison lineaire...

Des idees ?
Merci par avance
-----

[Tryss]

P est de degré n mais pas seulement.

Par exemple si on prend les polynômes de degré 1, et que l'on cherche l'orthogonal aux polynômes de degré 0, on trouve qu'il s'agit non pas des polynômes de degré 1, mais des polynômes de la forme 2ax-a, qui eux forment bien un sev.

La raison pour laquelle l'orthogonal de n'importe quel A est un sev est simple :

si f et g appartiennent à l'orthogonal de A, alors pour tout h dans A, on a :
<f,h> = 0
<g,h> = 0

Donc par linéarité du produit scalaire af+g appartient à l'orthogonal de A, car <af+g,h> = 0 pour tout h

[Wiglie]

P est de degré n mais pas seulement.
Par exemple si on prend les polynômes de degré 1, et que l'on cherche l'orthogonal aux polynômes de degré 0, on trouve qu'il s'agit non pas des polynômes de degré 1, mais des polynômes de la forme 2ax-a, qui eux forment bien un sev.

Avec ton exemple j'ai compris ! Merci
Deg P =n n'est qu'une condition necessaire alors... Je me ferais toujours avoir !

Je vais regarder pour n=2 puis en dimension n on verra si je trouve la force !
Ces espaces ont ils un nom particulie ? Est-ce que je peux trouver des resultats deja etablis quelquepart ?

[Tryss]

Regarde du coté des polynômes orthonormaux :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4mes_orthogonaux

ici comme tu es sur [0,1] et non sur [-1,1] ca n'est pas exactement les polynômes de Legendre, mais c'est le même principe

[A voir en vidéo sur Futura]

[Wiglie]

Super mErci pour tout