Espace vectoriel: somme de sev

[invitea74569ea]

Bonjour à tous!

J'apprécierais obtenir des éclaircissements concernant une question posée en exercice:

soit h un endomorphisme de E (il était mentionné avant que E=R^3)
montre que h n'est valable que si et seulement si une seule des deux conditions suivantes est validée:
Imh + Kerh = E
Im h inclus dans Ker h

(pour le + il s'agit d'une somme de deux sev donc avec un rond aussi..navré je ne sais pas écrire en langage math sur le forum..)

j'ai pu montrer que Imh inclus ds Ker h en utilisant les définitions et en montrant que si ker h=v(-)=0 et img h=u(-) alors v(u)=0 et dc l'image est inclus dans le noyau

mais comment faire pour la 1ère condition
et surtout comment montrer l'opposition entre les 2 définitions

en vous remerciant!
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[invitea74569ea]

aucune aide?

[thepasboss]

Bonjour,

Je ne suis pas sur de comprendre ce que signifie "h est valable".

en effet si on prend (e1,e2,e3) la base canonique de R^3 et f l'endomorphisme définit par f(e1) = 0 , f(e2)=e1 et f(e3)=e3 on a un endomorphisme qui est bien défini ( = valable ??? ) et qui pourtant ne vérifie aucune des deux conditions.

Une petite précision sur ce "valable" ? ^^

[invitea74569ea]

Désolé!
Il faut montre que h satisfait une et une seule des 2 propriétés suivantes, en fait..

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea74569ea]

je tente une dernière fois

[invite6de5f0ac]

Bonjour,

Je tente une petite intervention pour que tu ne te sentes pas tout seul...

L'énoncé n'est pas très clair. D'abord, si Im h est contenu dans ker h, on a Im h + ker h = ker h et la somme ne peut pas être directe. Donc (2) implique que (1) est faux. Inversement, si la somme Im h + ker h est directe, cela signifie que Im h inter ker h = {0} et donc on n'a pas Im h contenu dans ker h. Sauf cas dégénéré bien entendu, mais alors il faudrait que ce soit précisé dans l'énoncé.

Les deux conditions s'excluent mutuellement. Mais de là à dire que l'une d'entre elles est toujours vérifiée... Je ne vois pas de contre-exemple là comme ça à jeûn, mais j'y réfléchis.

-- françois

[inviteaf1870ed]

Peut être sait on quelque chose sur h ?

[thepasboss]

Pour le contre exemple il me semble que l'exemple d'application linéaire que j'ai donné en est un, à savoir :

"si on prend (e1,e2,e3) la base canonique de R^3 et f l'endomorphisme définit par f(e1) = 0 , f(e2)=e1 et f(e3)=e3 on a un endomorphisme qui est bien défini ( = valable ??? ) et qui pourtant ne vérifie aucune des deux conditions."

Je serais tenté de dire comme ericcc : il y a surement une condition sur h que tu as oublié de préciser ^^

[invitea74569ea]

Effectivement, ça fait beaucoup de négligences de ma part, vraiment navré et merci pour vos indications.

h est un endomorphisme de E de rang 1.

[inviteaf1870ed]

Alors c'est plus simple :
Par le théorème du rang tu sais que Kerh est de dimension 2. Soit k1,k2 une base de Kerh, tu peux compléter cette base par un vecteur e1 (théorème de la base incomplète). Soit e2=h(e1), si e2 est dans Kerh, que peut on dire ? Sinon, que peut on dire ?

[invitea74569ea]

Merci beaucoup pour vos réponses.

Si e2 est dans Ker h
Alors h(e1) est dans Ker h
Donc en généralisant: Img h est inclus dans Ker h

et donc pour reprendre fderwelt:
Img h inclus dans Ker h => Img h + Ker h = Ker h donc ce n'est pas direct

C'est ça?

Je n'arrive pas à comprendre la proposition de fderwelt..J'ai du mal avec les ev et les applications linéaires.

[invitea74569ea]

est-ce une bonne piste?

[invitea74569ea]

toujours personne?

[invite9e2a09a8]

Les deux propositions ne peuvent pas être vérifiées en même temps. Comme l'a dit fderwelt si l'une est vraie l'autre est fausse.

[invitea74569ea]

j'avais bien compris cela; je voulais juste savoir si la rédaction suffisait pour démontrer?