Polynome irreductible dans Q

[invite2a803134]

Bonjour à tous!
Voila j'ai un probleme sur un exo, je suis arrivé a la derniere question et je dois, pour conclure, prouver que X^n -2 est irreductible sur Q
Le cadre général de l'exercice est l'étude des nombres algébriques sur Q
On note Q[a] = { P(a), P dans Q[X]}

j'ai montré que Q[a] est de dimension fini ssi a est algébrique sur Q
il existe un unique polynome unitaire Q1 dans Q[X] tq pour P dans P[X], P(a) = 0 ssi Q1|P
Q1 est irréductible sur Q
dim Q[a] = deg Q1

la on s'interesse a Q[ racine n ieme de 2] et je noterai a = racine n ieme de 2

J'ai dit que a était algébrique sur Q puisque racine de X^n -2
Je voudrais montrer que Q1 = X^n -2 avec Q1 défini comme je l'ai fait plus haut

Donc ca reviendrait a prouver que Q1 divise tout polynome qui s'annule en a, et je pensais que si je montrais qu'il était irreductible ca irait.
Donc il faut prouver que Q1 est irreductible sur Q, et la je ne sais absolument pas comment faire...
J'ai lu des trucs sur internet a propos du critere de Eisenstein, mais bon on ne l'a pas vu en cours donc pas droit de l'utiliser.
Pouvais vous m'aider?
Merci d'avance

Ravinator, mathématicien en herbe
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[invite76543456789]

Salut!
C'est une consequence directe du critere d'eisenstein.

[invite2a803134]

bonjour a toi
D'abord merci de ta réponse, mais comme je l'ai écrit je n'ai pas vu le critere d'eisenstein, donc pas droit de l'utiliser
Donc je peux soit le démontrer a la main, soit démontrer le critere d'eisenstein mais d'apres ce que j'ai lu ca utilise des trucs de la forme Z/pZ et ca on ne l'a pas vu non plus

[invite76543456789]

Ah desolé j'avais pas lu tout ton message!
Sans eisenstein ca me parait delicat. Mais on peut s'en sortir en "redemontrant" eisenstein sans le dire.
Suppose que que X^n-2=PQ avec P et Q dans Z[X], unitaires
Alors montre que 2 divise tous les coefficients de P et Q, que peux tu en conclure sur le terme constant dans PQ.

Reste une difficulté, c'est que tu cherche a prouver que X^n-2 est irred dans Q[X] pas dans Z[X], en fait c'est la meme chose puisque ton polynome est unitaire, mais le sais tu?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2a803134]

Le seul résultat que j'ai qui ressemble de loin a ca c'est que si on fait la division euclidienne d'un polynome de coef dominant dans Z par un polynome unitaire, alors le quotient et le reste sont tout deux dans Z [X]
Donc bon je vois pas tres bien comment m'en sortir..

[invite2a803134]

Sinon, est-ce que ce ne serait pas plus simple de montrer que si Q(a) = 0 alors Q1 | Q ? (je dis ca a tout hasard..)