base de E

[invite93ca7f22]

Bonsoir,

Donc voici l'exercice :

Soit E=R₂[x] l'espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 2 et p₁,p₂,p₃ les fonctions polynômes définies par p₁(x) = x+1,p₂(x) = x-1 et p₃(x) = x²-1

Montrer que (p₁,p₂,p₃) est une base de E.

(p₁,p₂,p₃) est une famille libre (assez facile à démontrer)
Cependant, je ne sais comment prouver que pour toute fonctions f qui appartient à E : f(x) = ap₁(x) + bp₂(x) + cp₃(x) avec (a,b,c) appartiennent à R^3.

Quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plait ?

Cordialement.
-----

[gg0]

Si tu sais que E est de dimension 3, c'est fini.
Si tu ne le sais pas, l'égalité f=ap1+bp2+cp3 te donne immédiatement un système (méthode d'identification).

Bon travail !

[invite332de63a]

Bonjour, sinon ici la valeur en 1 et -1 de f peut de permettre de connaitre la valeur des coefficients de x-1 et x+1, car dans chacun de ces deux cas, les autres éléments de la base s’annulent en ces valeurs.

[invite93ca7f22]

f(x) = ap1(x) + bp2(x) +cp3(x)
=a(x+1) + b(x-1) + c(x²-1)
=cx² + (a+b)x + (a-b-c)


Cependant, que faire de ceci ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Je te l'ai dit. Une méthode classique en première !!

Ton f(x), c'est quoi ????

[invite93ca7f22]

f(x) c'est un polynome de la forme ax²+bx+c

[gg0]

Oui,

mais comme a, b et c servent déjà, disons que f(x)=px²+qx+r où p, q et r sont donnés (connus). Et toi tu cherches a, b et c dans l'égalité de polynômes
cx² + (a+b)x + (a-b-c)=px²+qx+r.
Tu es ramené à un exercice classique de première.

[invite93ca7f22]

Donc :

p=c
q= a+b
r=a-b-c


a= (q+r+p)/2
b=(q-r-p)/2
c=p

Donc f(x) = ap1(x) + bp2(x) +cp3(x) = (q+r+p)/2.p1(x) + (q-r-p)/2.p2(x) +p.p3(x)
F s'écrit comme une combinaison linéaire de p1,p2,p3 et toute combinaison linéaire de p1,p2,p3 appartient à F

Donc (p1,p2,p3) est une base et dimF = 3