Problème exos Maths L1 biologie

[inviteb9ca3bd8]

N'ayant jamais été trop forte en maths, j'aimerai savoir si vous pourriez m'apporter votre aide.

Exercice 1

Résoudre l’équation différentielle y’(t) + 4y(t) = te^t , complétée par la donnée initiale y(0) = 0
Résoudre l’équation différentielle y’(t) + t² y(t) = 3t² , complétée par la donnée initiale y(0)=1


Pour cet exercice, je n'ai jamais compris les équations différentielles donc je ne sais pas par où commencer, si quelqu'un pouvait m'expliquer et me donner un début pour que j'y arrive ?


Exercice 2
Un directeur d'une entreprise de transport routier doit faire livrer de la marchandise à une ville située à une distance d=500km. Il aimerait savoir à quelle vitesse doit rouler le camion pour que le transport soit le plus économique possible. Doit-il rouler à la vitesse maximum autorisée, c'est-à-dire 100km/h, ou doit-il rouler à une vitesse plus basse ? Pour simplifier le problème, on suppose que le camion roule tout le parcours à une vitesse constante v (km/h). Les frais sont de deux types :
- le salaire du chauffeur qui est proportionnel par une constante α au temps de parcours T (mesuré en heure)
- les frais de carburant qui sont proportionnels par une constante β au temps T et au carré de la vitesse

(1) Rappeler la relation entre d, T et v
(2) Donner en fonction de d, v, α et β le coût du transport et montrer que la recherche du trajet le moins coûteux se ramène à étudier les variations de la fonction : f(x)= d(α/x + βx) sur l'intervalle ]0;+oo[
(3) Etudier la fonction ci-dessus, et montrer qu'elle admet un unique minimum


Pour la (1) évidemment j'ai répondu d= T/v
Pour la (2), du moins la première partie, j'ai commencé comme ça par rapport à ce qu'on nous dit des frais :

coût transport =salaire chauffeur +frais carburant
donc
Salaire chauffeur = αt
Frais de carburant = βt + βv² est-ce bon ?
Mais pour montrer que la recherche du trajet le moins couteux se ramène à étudier les variations de la fonction donnée, je ne vois pas comment faire

Pour la (3) je suis par conséquent bloqué mais j'ai calculé la dérivée de la fonction précédemment donnée car je pense que c'est necessaire pour étudier la fonction, ça serait f'(x) = d(β - α/x²) ?


Merci de votre aide !!
-----

[invitec5f026fe]

bonjour, je t'apporte quelques elements de reponse pour l'exo 1
premierement essaye de trouver la solution hommogene cet a dire pose que le terme de gauche de ton equation egal a zero. pour cela tu doit commencer par retrouver l'equation caracteristique
deuxiemement tu doit trouver une solution particuliere cet a dire qui respecte l'egalite
ta solution final sera la somme de ses deux solutions
a toi de jouer!

[inviteaf1870ed]

POur ton deuxième exercice tout est faux !

1/La distance n'est pas égale au temps divisé par la vitesse, réfléchis bien...
2/Le cout de l'essence est proportionnel au temps que multiplie le carré de la vitesse (l'énoncé prête à confusion c'est vrai)

[inviteb9ca3bd8]

Merci pour le premier exo je vais essayer et j'enverrai ma réponse pour voir si c'est bon ^^

Et pour le deuxième,
Pour la 1) oui je me suis complètement trompée, c'est t=d/v pardon
pour la 2) c'est donc βt . v² ? merci de votre réponse, si vous pouviez m'aider pour la suite également ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Oui c'est ça. Le reste ne pose pas de problème : tu dois bien savoir étudier une fonction ?

[inviteb9ca3bd8]

Bah je viens d'arriver en france pour faire mes études et j'ai un peu de mal avec les fonctions à vrai dire, je ne connais pas exactement les étapes pour étudier une fonction.
Et la deuxième partie de la question 2, je ne la comprend pas, enfin je ne sais pas comment débuter pour y répondre.

[inviteaf1870ed]

Je te recommande de relire rapidement un cours de lycée sur le sujet. C'est une base pour faire des études supérieures scientifiques.

[inviteb9ca3bd8]

Aucune aide donc ? Parce que le cursus scolaire et les programmes ne sont pas les mêmes dans mon pays, j'aurai aimé avoir la réponse à cet exo pour pouvoir m'entraîner et réussir en exam si je tombe sur ce genre de question de fonctions etc ..

[inviteaf1870ed]

Je ne vois pas dans quel pays on n'enseigne pas ces notions dans le secondaire...

[inviteb9ca3bd8]

Et bien merci quand même, je vais essayer seule, mais si je n'ai pas ce notions,
car c'est le premier exercice comme ca que je vois, je voulais juste quelques réponses, histoire de pouvoir en faire plein de la sorte par la suite.

[invited3a27037]

bonsoir

Ce sont des equa diff linéaires. Dans ce cas là, on commence par résoudre l'equation sans le second membre, puis on cherche une solution particulière de l'equation complete qu'on ajoute à la solution générale sans second membre. Enfin on utilise les contitions initiales pour trouver les constantes qui interviennent.

1ere equation:


y’(t) + 4y(t) = te^t

on enlève le 2 ème membre, il reste

y’(t) + 4y(t) = 0

y'/y = -4

on intègre les 2 membres

Log(y) = -4t +c

y = C.exp(-4t) où C est une constante
. C'est la solution générale de l'equa diff sans 2 ème membre

Ensuite on cherche une solution particulière de l'equation complete y’(t) + 4y(t) = te^t

Ici, on peut essayer (at+b) .exp(t) (c'est plus ou moins au pif)

on trouve a=1/5 et b=-1/25

D'ou la solution générale y(t) = C.exp(-4t) +1/25(5t-1)exp(t)

ensuite on utilise la condition initiale y(0)=0 pour déterminer C

on trouve C = 1/25

d'ou y(t) = 1/24 (exp(-4t) +(5t-1)exp(t))

sauf erreur

la deuxième equation est similaire, faudra juste chercher une solution particulière sous la forme d'un polynome du 2 ème degré je suppose.

[inviteb9ca3bd8]

Ah merci beaucoup pour votre explication très détaillée, je suis en train de faire de même pour la deuxième !
Mais je ne comprend pas par quel calcul ou formule vous trouver a et b, et comment vous déterminer C, si vous pouviez éclaircir mes lanternes, ce serait sympathique !

Pour l'exercice 2, question 2, j'ai remplacé t par d/v pour arriver à l'expression de f demandée et j'ai posé v=x . Est-ce que comme ça je répond bien à la question ? Car j'en suis pas sure.
Pour la question 3, j'ai fait la dérivée de f(x), f'(x) = d(b - a/x²) c'est ça ? Et après je dois l'étudier en faisant les limites, et faire après un tableau de variations ?

[invite8ac20103]

Bonsoir,

Pour ton Exo 1:

Si tu veux aussi trouver les solutions des équa diff linéaires d'ordre 1.

Donc du type: Y'(x) + a(x).Y(x) = b(x)

En utilisant la méthode de l'intégrand on démontre que Y(x) = [1/µ(x)][C+∫(b(x)µ(x)dx)] avec µ(x) = e^(∫(a(x)dx) )(Rappel: ∫ sans borne c'est la primitive )
Dans ton cas :
au 1) a(t) = 4 donc e^(∫(a(t)dt) ) = e^(4.t)
b(t)= te^(t) donc pour ∫(b(t)µ(t)dt = ∫(te^(5t))dt (une petite intégration par partie devrais faire l'affaire)
Donc tu obtient Y(t) et pour la constante tu calcule Y(0).


au 2) a(t) = t² donc µ(t) = e^(∫(a(t)dt) )= e^(t³/3)
b(t) = 3t² donc ∫(b(t)µ(t)dt = ∫(3t²e^(t³/3) dt) = 3∫(t²e^(t³/3))dt = 3e^(t³/3) ( car u'e^u )
Donc tu obtient Y(t) et pour la constante tu calcule Y(0).

Voila la méthode dite de l'intérand. Sinon ta la méthode de variation de la constante de Joel.

J'espere que cela peut t'aider

[inviteb9ca3bd8]

Merci de votre aide, pour l'intégration par partie, je ne suis pas sure, je trouve pour la constante C = 1 au final, pourriez vous m'aider ?