Bonjour,
j'aurai besoin d'aide sur cet exo:
Montrer que si un polynôme homogène P se factorise en produit de polynômesalors chacun de ses facteurs
On me dit de faire un raisonnement par l'absurde
je suppose que les
merci de votre aide
Bonjour,
Essayez comme ceci (schéma, un peu compliqué, il devrait y avoir plus simple).
1) On peut supposer tous les $Q_j$ irréductibles.
2) En raisonnant par l'absurde, on peut supposer qu'aucun des $Q_j$ n'est homogène (car si $Q_l$ est homogène, on peut remplacer $P$ par $P/Q_l$).
3) Soit $b$ non nul et non racine de l'unité dans votre corps K (qui ne doit pas \^etre fini, donc). On a
$(*) Q_1(bx)...Q_k(bx)=b^d Q_1(x)...Q_k(x)$.
4) On pose $k_0=1$. $Q_1(x)=Q_{k_0}(x)$ apparait dans le second membre de (*) . Il apparait donc dans le premier, et en raison de l'hypothèse d'irréductibilité, il existe $c_1$ non nul dans $K$ et $k_1$ dans $\{1,...,k\}$ tels que $Q_{k_0}(x)=c_1Q_{k_1}(bx)$. On applique le m\^eme argument à $Q_{k_1}(x)$, etc. On fabrique ainsi une suite $k_j$ d'éléments de $\{1,...,k\}$ avec $Q_{k_{j-1}}(x)=c_jQ_{k_j}(bx)$, $c_j$ non nul.
5) La suite $k_j$ ne peut \^etre injective. Il existe $m, l$ avec $m>l$ tels que $k_m=k_l=h$. Soit $t=m-l$ qui est $>=1$. On a donc $Q_h(x)=cQ_h(b^tx)$ avec $c$ non nul.
6) On compare les coefficients des mon\^omes apparaissant dans $Q_h$, et l'hypothèse sur $b$ implique que leurs degrés sont tous égaux. Donc $Q_h$ est homogène, contradiction.
Raisonnement à revoir soigneusement, bien s\^ur, il pourrait y avoir un bug...
Cordialement.
