Polynôme

**rajamia** · 13/11/2007, 03h31

salut à tous

ma question est la suivante,

pour un polynôme $\text{[math]}$ donné dans un anneau (des polynômes) commutatif et un autre $\text{[math]}$ dans un anneau non commutatif mais sur le même corps de définition, peut-on dire que le produit des deux polynôme est dans l'anneau commutatif ou dans le non commutatif?

cordialement

**invited5b2473a** · 13/11/2007, 07h14

Envoyé par rajamia

salut à tous

ma question est la suivante,

pour un polynôme $\text{[math]}$ donné dans un anneau (des polynômes) commutatif et un autre $\text{[math]}$ dans un anneau non commutatif mais sur le même corps de définition, peut-on dire que le produit des deux polynôme est dans l'anneau commutatif ou dans le non commutatif?

cordialement

Euh...si tes deux anneaux ton définis sur le même corps, ils ont a priori le même caractère de commutativité ou anticommutativité.

**rajamia** · 13/11/2007, 12h13

Envoyé par indian58

Euh...si tes deux anneaux ton définis sur le même corps, ils ont a priori le même caractère de commutativité ou anticommutativité.

bonjour

absolument non. ils ont le même corps de définition mais pas la même structure.
en fait je veux savoir est ce que j'ai le droit de faire cette multiplication?

sinon comment faire pour cette multiplication soit possible?

invite6b1e2c2e · 13/11/2007, 12h29

Salut,

Toujours est-il que dans un anneau, la multiplication est définie comme une loi interne qui n'est pas forcément triviale.

Du coup, je ne pense pas qu'on puisse définir un produit entre deux anneaux sur un même corps, si ce n'est le produit tensoriel au dessus du corps de base, mais je ne suis pas sûr que ce produit tensoriel hérite d'une structure intrinsèque d'anneau. Y a probablement des gens sur ce forum capables de répondre à cette question, non ?

__
rvz

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invite03f2c9c5 · 13/11/2007, 12h59

Bonjour,
Je partage l'étonnement d'indian58 ; s'agit-il, comme le suggère tes notations $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , de polynômes à une indéterminée sur un corps donné ? Dans ce cas, l'anneau de polynômes $\text{[math]}$ est commutatif si le corps $\text{[math]}$ l'est. Cela reste vrai pour les polynômes à plusieurs indéterminées en vérité.

Ou alors tu veux parler d'une définition très générale des polynômes sur un corps commutatif $\text{[math]}$ , comme l'ensemble $\text{[math]}$ des applications d'un monoïde $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ presque nulles, muni de l'addition et de la multiplication adéquates ?… (Le cas des polynômes à une indéterminée correspondant à $\text{[math]}$ ). Dans ce cas, en effet, l'anneau $\text{[math]}$ est commutatif si et seulement si le monoïde $\text{[math]}$ l'est.

Mais dans ce cas, si tu veux faire le produit de deux polynômes dans des anneaux différents $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , tu te heurtes à l'objection de rvz : la multiplication des polynômes est censée être une loi de composition interne.

Bref, pourrais-tu être plus clair sur ce que tu entends par polynôme sur un corps, et dire comment tu comptes définir ta multiplication de deux polynômes appartenant dirait-on à deux anneaux différents ?

En espérant ne pas être complètement à côté de la plaque (je ne suis pas algébriste et aurais peut-être mieux fait de ne pas intervenir sur ce fil !).

invite6b1e2c2e · 13/11/2007, 13h04

Ah oui, c'est une autre interprétation du post initial. Perso, j'avais compris qu'on se donnait deux algèbres A et B définis sur un corps k, et qu'on essayait de déterminer un produit entre A[X] et B[X]. Je ne sais même pas trop si cette question est pertinente, mais en tout cas, je ne sais pas y répondre...
__
rvz

**rajamia** · 13/11/2007, 13h33

ok

mais d'abord laisse moi te dire qu'aussi je ne suis pas algébriste.

revenons à notre sujet,

ben 1ère chose on peut avoir un anneau des polynômes non commutatif même que le corps de définition ne le soit pas.

2ème chose: j'ai parlé de deux anneaux ayant le même corps de définition donc pas comme tu viens de faire rvt $\text{[math]}$ mais si tu veux comme exemple $\text{[math]}$ comme anneau commutatif et on note le non commutatif par $\text{[math]}$ ou $o$ l'élément avec le quel on définit la multiplication dans ce dernier anneau.

bon la question du départ est qu'on a le droit de faire une telle multiplication sinon comment faire pour le rendre possible (en utilisant un homorphisme ou je sais moi quelque chose dans l'algébre que j'en sais pas un moyen c'est tt)

invite03f2c9c5 · 13/11/2007, 13h40

Envoyé par rajamia

2ème chose: j'ai parlé de deux anneaux ayant le même corps de définition donc pas comme tu viens de faire rvt $\text{[math]}$ mais si tu veux comme exemple $\text{[math]}$ comme anneau commutatif et on note le non commutatif par $\text{[math]}$ ou $o$ l'élément avec le quel on définit la multiplication dans ce dernier anneau.

Je ne comprends pas ce que désigne $\text{[math]}$ . Peux-tu définir ce que tu notes $\text{[math]}$ , et, ce qui semble aller avec, la loi de multiplication dans ce que tu notes $\text{[math]}$ ?

**rajamia** · 13/11/2007, 13h54

ok

en fait pour parler déjà de tel anneau non commutatif on doit définir une deuxième loi de composition interne, on le définit ainsi $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ (par exemple)
comme ça si tu veux faire par exemple le produit de $\text{[math]}$ t'en aura besoin. $\text{[math]}$
tu me comprends maintenant ou...

**rajamia** · 13/11/2007, 13h55

ah j'ai oublié ce $\text{[math]}$ est un automorphisme définit sur le corps qu'on a

invite03f2c9c5 · 13/11/2007, 14h17

Envoyé par rajamia

ok

en fait pour parler déjà de tel anneau non commutatif on doit définir une deuxième loi de composition interne, on le définit ainsi $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ (par exemple)
comme ça si tu veux faire par exemple le produit de $\text{[math]}$ t'en aura besoin. $\text{[math]}$
tu me comprends maintenant ou...

Je ne comprends toujours pas. Lorsque tu parles d'une deuxième loi de composition interne, c'est pour quel ensemble ? $\text{[math]}$ ? Tu le munis d'une autre multiplication, qui ne serait pas commutative ? Dans quel ensemble est pris $\text{[math]}$ dans ta formule $\text{[math]}$ ? Dans $\text{[math]}$ aussi ? Ou alors $\text{[math]}$ désigne l'indéterminée de ton anneau de polynômes, mais dans ce cas on n'a pas affaire à une loi interne…

Par ailleurs, je ne comprends pas la formule $\text{[math]}$ . Pourquoi le membre de droite ne dépend-il pas de $\text{[math]}$ ? Ah, tu dois vouloir dire $\text{[math]}$ sans doute.

Mais j'ai tout de même l'impression que la confusion règne entre éléments du corps de base $\text{[math]}$ comme $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et l'indéterminée $\text{[math]}$ .

Peut-être pourrais-tu donner la définition de ce que tu appelles anneau de polynômes (disons à une indéterminée) sur un corps donné, car j'ai l'impression que nous n'avons pas la même. Ce qui pourrait expliquer qu'on ne se comprenne pas.

**rajamia** · 13/11/2007, 14h30

ben regarde peut être j'ai mal exprimé,

parlons dans le cas général et considérant un corps fini noté $\text{[math]}$ de caratéristique $\text{[math]}$ on construit l'anneau $\text{[math]}$ l'anneau des polynômes ou les coefficients sont écrit à droite de l'indéterminé $\text{[math]}$ on définit l'addition comme l'addition usuelle quand sait tous, la pultiplication est définit par la relation $\text{[math]}$ comme ça on peut généraliser aux autres éléments de $\text{[math]}$ jusqu'au la t'es d'accord pour cette définition? j'espère bien

**invited5b2473a** · 13/11/2007, 16h42

Envoyé par rajamia

bonjour

absolument non. ils ont le même corps de définition mais pas la même structure.
en fait je veux savoir est ce que j'ai le droit de faire cette multiplication?

sinon comment faire pour cette multiplication soit possible?

Il me semblait que les structures étaient les mêmes.

**rajamia** · 13/11/2007, 16h51

Envoyé par indian58

Il me semblait que les structures étaient les mêmes.

on va pas tourner dans ce cercle vide, ils ont la même structure comme anneau mais je parle de la multiplication que j'ai définit

invite03f2c9c5 · 13/11/2007, 17h09

Envoyé par rajamia

on va pas tourner dans ce cercle vide, ils ont la même structure comme anneau mais je parle de la multiplication que j'ai définit

Désolé, mais tu n'as toujours pas défini de multiplication sur ce que tu notes $\text{[math]}$ (que tu n'as pas défini non plus). Je ne vois qu'une définition de la multiplication $\text{[math]}$ , pas celle de deux polynômes $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ quelconques…

Si j'ai suivi, tu te donnes un automorphisme $\text{[math]}$ du corps de base, puis tu décides de noter $\text{[math]}$ le monôme $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ . Bon, pourquoi pas. Doit-on comprendre que tu notes plus généralement $\text{[math]}$ le polynôme noté habituellement $\text{[math]}$ ? Sinon, que notes-tu, disons, $\text{[math]}$ ? Comment définis-tu la multiplication de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ? Si mon interprétation de $\text{[math]}$ était correcte et si on faisait le produit de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , cette multiplication serait commutative… En fait, la notation inhabituelle avec les coefficients à droite serait un simple jeu d'écriture.

J'imagine que tu as donc quelque chose de plus subtil en tête, mais pourrais-tu définir pour commencer ce que tu notes $\text{[math]}$ ? Et de la multiplication qui va avec ? Bref, à quoi ressemblent deux polynômes $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ quelconques de cet ensemble, et comment définis-tu $\text{[math]}$ (et $\text{[math]}$ au cas où ce ne serait pas la même chose) ?

**rajamia** · 13/11/2007, 17h25

non ce que t'as écris n'est pas juste . par contre on a $\text{[math]}$ tu vois ou serai la difficulté maintenant?

**rajamia** · 13/11/2007, 17h27

non ce que t'as écris n'est pas juste . par contre on a $\text{[math]}$ tu vois ou serai la difficulté maintenant?

invite03f2c9c5 · 13/11/2007, 18h46

Envoyé par rajamia

non ce que t'as écris n'est pas juste . par contre on a $\text{[math]}$ tu vois ou serai la difficulté maintenant?

Qu'est-ce que $\text{[math]}$ ? Faut-il lire $\text{[math]}$ à la place ? Et dans $\text{[math]}$ , l'exposant est pour la multiplication du corps de base ou pour la composition des automorphismes ?

Pourquoi n'as-tu pas répondu aux questions de la fin de mon message précédent ? Va-t-on enfin avoir droit à une définition précise et complète de cette mystérieuse multiplication non commutative sur les polynômes, qu'aucun des intervenants sur ce fil ne semble connaître à part toi ?

Quant à moi, j'avoue commencer à me lasser, je vais peut-être me désabonner de la discussion. C'est dommage, j'aurais peut-être pu apprendre quelque chose…

**invited5b2473a** · 13/11/2007, 19h53

Envoyé par DSCH

Qu'est-ce que $\text{[math]}$ ? Faut-il lire $\text{[math]}$ à la place ? Et dans $\text{[math]}$ , l'exposant est pour la multiplication du corps de base ou pour la composition des automorphismes ?

Pourquoi n'as-tu pas répondu aux questions de la fin de mon message précédent ? Va-t-on enfin avoir droit à une définition précise et complète de cette mystérieuse multiplication non commutative sur les polynômes, qu'aucun des intervenants sur ce fil ne semble connaître à part toi ?

Quant à moi, j'avoue commencer à me lasser, je vais peut-être me désabonner de la discussion. C'est dommage, j'aurais peut-être pu apprendre quelque chose…

Ouais, ça serait cool de connaître précisément les structures de ces anneaux parce que bon, les anneaux de polynômes, en général, ça se construit pas de 36 manières!

Et après quand tu dis que tu fais le produit de p(x) par q(x), c'est quoi ce dont tu fais le produit? des fonctions polynomiales ou des polynômes? Parce que bon, si c'est le produit des polynômes, alors si tes lois ne sont pas les mêmes, ça a pas beaucoup de sens tout ça. Ca voudrait dire quoi faire un produit d'objets qui n'ont pas grand chose à voir?

Après, si ce sont les fonctions polynomiales alors vu que ton corps de base est commutatif, ben, vu que q(x) et p(x) sont dans ce corps, ils commutent.

Polynôme

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Re : polynôme

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