Encadrement du sinus
Bonjour,
J'ai besoin de votre aide pour résoudre cette question:
Montrer que sur [0;pi/2], (2x/pi) inférieur ou égal à sin(x) inférieur ou égal à x.
Je pensais utiliser sinus compris entre -1 et 1 mais je n'arrive pas à retrouver l'écriture demandée.
Idem avec sinus compris en -pi et pi. Comment dois-je donc m'y prendre?
Est-ce que je dois résoudre séparement (2x/pi inf ou = à sinus) et (sinus inf ou = à x)?
Tu as toujours sin(x)<= x (regarde la tangente à l'origine)
Pour l'autre inégalité tu peux faire une étude de fonction, ou, plus subtil et plus rapide, utiliser la concavité du sinus sur ton intervalle [rappel : une fonction concave est au dessus de ses cordes]
Re : Encadrement du sinus
Merci pour votre aide. J'ai finalement étudié la position relative de 2x/pi par rapport au sinus, car je ne sais pas utiliser la concavité.
J'ai encore besoin de vous pour la suite, si vous voulez bien.
La question suivante est:
par intégration, en déduire
1-x²/2 <= cosx <= 1-x²/pi
x-x3/6 <= sinx <= x-x3/3pi
Je reconnais dans la première partie le développement limité en 0 du cos et du sin mais rien à voir avec l'intégration (si?). Ensuite il y a du pi qui apparait et là je suis perdue. Je ne vois pas le lien avec la première question, ni en quoi l'intégration peut m'aider. Je ne sais même pas comment me lancer.
Je ne vous demande pas de résoudre l'exercice à ma place, mais simplement de me donner quelques indices pour que je puisse en venir à bout!
Alors je te donne des indices : d'abord tu devrais voir facilement comment passer de l'inégalité avec cos, à la dernière.
Ensuite que trouves-tu quand tu intègres ce que tu as trouvé plus haut ? Peux tu le transformer ?
Re : Encadrement du sinus
Envoyé par ericcc
En intégrant la première ligne, je peux obtenir la deuxième!
Il me semblait bien qu'il fallait faire un truc avec la question précédente... En intégrant 2x/pi entre pi/2 et 0, je trouve pi/4 que je ne peux modifier. En intégrant x sur le même intervalle, je trouve un truc affreux: pi²/8...
Quelle est la primitive de sin(x)
La primitive de sin(x) est -cos(x)en quoi est-ce utile?
J'ajoute que tu devrais plutôt voir ce qui se passe en intégrant entre 0 et x
Ecris donc le résultat de la première inégalité quand tu l'intègres entre 0 et x
Rappel : si a < b
En intégrant (1-(x²/2)) entre 0 et x, je trouve (x-(x^3/6). Yes!
En intégrant cosx entre 0 et x, je trouve sinx. Yes!
En intégrant (1-(x²/pi)) entre 0 et x, je trouve (x-(x^3/3pi). Yes!
C'était facile en fait, je n'utilisait pas le bon encadrement!!!!
Par contre, y a-t-il un lien à faire entre ces calculs et la question d'avant qui était "démontrer (2x/pi) <=(sinx) <= (x)" ? Car celle à laquelle nous venons de répondre est "par intégration, en déduire...".Le "en déduire" est à déduire à partir de l'intégration ou à partir de l'inégalité de la première question?
Les deux mon capitaine ! Tu dois démontrer la première inégalité (avec le cos) maintenant...
Hmmm je vois
Bon ben en fait, j'y arrive pas(
J'ai essayé d'intégrer entre pi/2 et 0 ou entre x et 0 mais ça ne marche pas. Je ne vois pas comment passer de [(2x/pi) <=(sinx) <= (x)] à [(1-(x²/2)) <=(cosx) <= (1-(x²/pi))]. Alors si ça ne fonctionne pas avec les intégrations est-ce que je dois étudier séparément les fonctions pour montrer que (1-(x²/2)) <=(cosx) et (cosx) <= (1-(x²/pi))??
Pourtant, en intégrant de 0 à x, ça marche bien (il faut transformer ensuite les inéquations pour "isoler" cos(x) ) :
J'ai bien évidemment changé le x de l'inégalité initiale en t pour éviter les confusions de notation (il est pratique d'avoir x comme variable dans les résultats de calculs d'intégrales).
Cordialement.
Merci pour vos réponses, et votre patienceGrâce à votre aide, je vais pouvoir rendre un beau devoir
