ordre d'un evenement

[kaderben]

Bonjour
Voici un exercice que je n'arrive pas à finir
Un joueur lance une piece equilibrée et s'interesse au au rang du premier lancer ou' face apparait precédé de deux piles.
Par exemple, pour la suite de lancers dans l'ordre: FPFFFPPF, ce rang est 8

1°) Calculer les probabilités des rangs 1,2,3 et 4

2°)On pose a(n) la probabilité que le rang d'apparition cherché est n ( n>=3)
Démontrer que la suite a(n) est convergente et déterminer sa limite.

Réponses

1°)Avec un arbre, on voit qu'on ne peut pas avoir la séquence PPF aux rangs 1 et 2, donc la probabilité est nulle
Au rang 3 on a une seule séquence PPF, donc proba = (1/2)^3 = 1/8
Au rang 4 on a deux séquences PPF, donc proba = (1/2)^3 + (1/2)^3 = 1/8
On remarque que P(rang 3)=P(rang 4), je ne sais pas si c'est utile pour la suite !

2°) Je ne vois pas du tout comment faire dans le cas général.

Merci pour vos commentaires.
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[gg0]

Bonjour.

La suite Pn te semble constante ? Tu peux examiner ce qui se produit pour le total des probabilités pour n=1,2,...10,11 : On dépasserait vite une probabilité totale de 1 !
En fait, ton calcul de P(4) suppose implicitement qu'on n'arrête pas au troisième lancer, même si on a fait PPF. car l'arbre suppose l'indépendance si tu mets 1/2 sur chaque branche. Si on tient compte de la réalité du jeu, le dernier 1/2 n'est pas correct, car il ne tient pas compte du fait qu'il y a eu possibilité de gain. Si tu préfères, regarde au niveau 4, il n'y a plus que 14 branches (car on ne continue pas après PPF).

Pour généraliser, tu peux étudier quels triplets finaux sont possibles lors du n-ième tirage, donc ce qui a été obtenu aux tirages n-3, n-2 et n-1. Il n'y a que 7 possibilités, dont 2 terminent par PP et ont donc une chance sur 2 de faire gagner. Sans oublier de tenir compte du fait qu'on n'a pas encore gagné.

Dernière remarque : comme les événements considérés sont incompatibles, converge (vers 1) donc P(n) tend vers 0. Ce qui fait qu'on peut répondre à la question sans aucun calcul. Est-ce ça la réponse attendue ?

Cordialement.

NB : j'ai horreur de ce genre de sujets. Je peux donc m'être trompé, mais pas sur la dernière remarque.

[kaderben]

quand tu me demandes "Est-ce ça la réponse attendue ? je ne sais pas car je n'ai pas la correction.
Je trouve que c'est trop difficile et en plus l'énoncé ne nous guide pas petit à petit. En terminale S on a pas trop cette faculté de généraliser les choses mais en tout cas ce n'est pas une excuse, j'en suis conscient !

[gg0]

C'est un exercice de terminale S ? ou de prépa ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[kaderben]

C'est un exercice de Terminale S, nouveau programme, classé dans la rubrique "pour aller loin"
Je trouve que les exos du nouveau programme sont plus difficiles que ceux de l'ancien programme. Peut être ça dépend aussi du livre qu'on utilise, ici j'utilise un livre des éditions Belin.

[gg0]

Alors il vaut mieux éviter de le donner aux élèves. Il a dû être pris dans les sujets classiques de "prépa HEC" (je ne connais pas le nom actuel).

Cordialement.

[boisdevincennes]

utilisateur kaderben: j'ai trouvé sur internet un corrigé pour cet exercice. Si ça t'interesse tu le dis. Je l'ai lu mais je suis pas arrivé à comprendre, c'est très compliqué.

[boisdevincennes]

le corrigé : http://chrysatcho.free.fr/paradoxe.php *** La modération n'est pas à vos ordres ***Il faut regarder L'EVENEMENT J

[kaderben]

Merci boisdevincennes, je vais le regarder de plus près mais je ne sais pas si je vais comprendre quelquechose !

[gg0]

Ne t'inquiète pas Kaderben,

le document cité ne parle pas de ton problème, mais d'une autre idée.

Cordialement.

[boisdevincennes]

La varaiable aléatoire Y désigne le rang du lancer où pour la première fois apparaît la séquence (Pile, Pile, Face).
Explique la GG0 parce que il y a anguille sous roche.

[gg0]

Le paradoxe de Walter Penney utilise comme un cas de gain lui aussi la suite PPF, mais n'a rien d'autre de commun avec l'exercice de Kaderben. Dans l'exemple de Kaderben : FPFFFPPF on ne ferait même pas les deux derniers tirages.

[boisdevincennes]

KADERBEN jugera lui meme.

[joel_5632]

bonjour

Pour n très grand, il est certain que la séquence PPF est apparue au moins une fois avant, donc lim a(n) = 0 quand n-> +oo

[kaderben]

Pour la limite, je pense qu'elle tend vers 0 car (1/2)^n tend vers 0, je pense que c'est ça, mais je crois que je n'ai pas encore compris l'énoncé alors que ggo m'a expliqué des choses. Je reviendrai là dessus une fois que j'aurai regardé la correction de l'exemple de boisdevincennes. C'est tout simplement par curiosité que j'ai essayé de faire cet exo alors qu'il me paraissait difficile !

[joel_5632]

Ce serait difficile de trouver l'expression de a(n) en fonction de n.
Mais la limite en +oo de a(n) est triviale

[kaderben]

Bonjour
J'ai regardé de plus près l'exemple de boidevincennes, mais ce n'est pas la même question que celui de mon exemple c'est à dire généraliser au niveau du nième tirage, peut être trouver une relation de recurrence.
Justement, ggo a parlé implicitement de ça dans son premier message en disant examiner les ordres n-1;n-2;n-3.

J'ai montré le sujet à un élève de prépa Arts et Métiers ( math sup), ces élèves ont l'habitude de manier ce genre d'exos et voici ses suggestions:
Il faut trouver une relation de récurrence entre a(n+1), a(n) et a(n-2) genre a(n+1) = b*a(n) + k*a(n-2) avec b,k réels et k ne peut être que P(PPf) = (1/2)^3 = 1/8
donc a(n+1) = b*a(n) + ou - 1/8*a(n-2), il reste à déterminer b et le signe + ou - devant 1/8*a(n-2),
l'ordre n-2 vient du fait que n+1 l'ordre de F et n-2 l'ordre de F ou P qui précède la séquence PPF
Surtout ne me demandez pas comment il a deviné tout ça !

Bon tout ça ce n'est pas pour moi car je n'ai rien compris et avis aux amateurs courageux...

[joel_5632]

bonjour

Il y a un problème voisin du tien qui est décrit ici: http://www.mathpages.com/home/kmath341.htm

La formule (1) peut servir pour calculer la probabilité P1(k) d'obtenir au moins un PPP sur k lancés de pièce (n=3 et q=1/2)

Maintenant si on cherche la probabilité d'obtenir le premier PPP au rang k, c'est P2(k) = 1/16 * (1-P(k-4))

1/16 pour avoir FPPP à la fin et 1-P1(k-4) pour n'avoir aucune séquence PPP avant.