réduction des endomorphismes

[invite66e455a0]

Bonsoir!

Savez-vous comment mq si on se donne un élément a inversible dans une algèbre de dim finie (A,+,.,x) alors exp(a) est un polynôme en a sans passer par le théorème de Cayley-Hamilton?

merci
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[inviteaf1870ed]

Si tu prends la suite des puissances de a, et que tu prends n+1 éléments, ce n'est pas une famille libre, donc...

[invite66e455a0]

Ceci est vrai puisqu'on est en dim finie, donc chaque a^p peut s'écrire comme combinaison linéaire des a^0, a, ..., a^n-1 et puis en faisant la somme on obtient un élément de A, et puisqu'il est fermé, la limite du sigma qd p-->+oo est dans A.
C correct?

[inviteaf1870ed]

Je ne vois pas où tu as besoin de la fermeture ? Tous tes A^p s'écrivent en fonction de A^0 A^1....A^n-1, cela suffit me semble t il pour répondre à la question que tu poses

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite66e455a0]

pour qu'on faisant le passage à la limite en p cette limite reste dans A, je pense...

[Médiat]

Bonjour,

Je ne comprends pas la question, dans la mesure où IR est une algèbre de dimension finie en tant que IR-algèbre, et que l'exponentielle n'est pas un polynôme sur IR ...

Il n'est pas question d'endomorphisme dans cette question contrairement au titre ...

A moins que exp(a) désigne autre chose que l'exponentielle ?

[invite66e455a0]

Bonjour,

Je ne comprends pas la question, dans la mesure où IR est une algèbre de dimension finie en tant que IR-algèbre, et que l'exponentielle n'est pas un polynôme sur IR ...

Il n'est pas question d'endomorphisme dans cette question contrairement au titre ...

A moins que exp(a) désigne autre chose que l'exponentielle ?

cet exercice concerne une partie du chapitre réduction des endom tout simplement

[Médiat]

Certes, mais je ne vois pas comment vous allez démontrer que l'exponentielle réelle est un polynôme.

Le théorème de Cayley-Hamilton parle bien d'endomorphisme, et vous vous parlez d'algèbre sur un anneau