Encadrement pour les suites, inégalités larges ou strictes

[invited4743cb4]

Bonjour,
doit-on, pour utiliser le théorème d'encadrement pour les suites, utiliser des inégalités larges ou bien peut-on utiliser également des inégalités strictes ?
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[invite03f2c9c5]

Bonjour, citer le théorème concerné serait plus clair (je ne suis pas sûr de savoir de quoi tu veux exactement parler), mais pour donner une idée générale, on préfère manipuler des inégalités larges car elles seules passent à la limite. Bien sûr, si l’on a des inégalités strictes, on peut en déduire des inégalités larges (qui peut le plus peut le moins), mais la réciproque est fausse. Les cas où l’on a vraiment besoin d’inégalités strictes sont finalement assez rares en analyse. Pas sûr d’avoir été clair, on reste dans le vague…

[invited4743cb4]

Je parle du théorème dit "des gendarmes" : pour (Un), (Vn) et (Wn) 3 suites,
si il existe un rang N tq pour tout n>=N Un <= Vn <= Wn et si (Un) et (Wn) convergent vers l alors (Vn) converge vers l .

Je me posais cette question car au cours d'un exercice je devais prouver qu'une suite convergeait, et en encadrant, j'obtenais d'un côté une inégalité stricte et de l'autre une large (ceci du au fait que la suite en question faisait intervenir partie entière et que je devais utiliser l'inégalité x-1< E(x) <= x ).
Donc je peux transformer la stricte en large et appliquer le théorème, c'est ça ?

Cependant si j'ai bien compris tu me dis qu'on peut échanger une stricte contre une large ? (ou bien qu'on peut déduire une large d'une stricte ??)

[invite03f2c9c5]

D’accord. Dans ce cas, en effet, l’inégalité entraîne bien évidemment . Et comme un encadrement au sens large suffit pour appliquer le théorème des gendarmes, pas de souci.

En revanche, je pensais aussi dans mon premier message au théorème qui affirme que si deux suites et convergentes, de limites respectives et , vérifient pour tout entier naturel , , alors on a . Si jamais tu as affaire à deux suites et qui vérifient même pour tout entier naturel , , tu ne peux en déduire que et non . C’est pour ce genre de raison qu’il est d’usage de manipuler des inégalités larges en analyse, sauf cas particulier avec besoin précis de strictes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited4743cb4]

C'est sur un exemple comme le tiens où je me rends compte que tout n'est pas très clair pour moi.
Si pour tout n, Un < Vn alors on a aussi Un <= Vn , non ? Donc pourquoi ne pourrait-on pas affirmer que L <= L' mais seulement L < L' ?

[gg0]

Bonjour.

Relis l'explication de DSCH, tu as compris de travers.

Cordialement.

[invited4743cb4]

c'est la formulation

tu ne peux en déduire que et non

qui me gène...
On peut bien passer de l'inégalité stricte à large, n'est-ce pas ?

Il est donc plus commode d'utiliser des inégalités larges. Mais pouvez-vous me dire quand dois-je faire attention à garder des strictes pour certains exercices ?

merci

[invite03f2c9c5]

Pour commencer, attention à ne pas confondre une implication et sa réciproque : une inégalité stricte entraîne une large ; une large n’implique pas la stricte. Tu as lis une partie de mon dernier message « à l’envers » on dirait.

Pour un exemple où l’ordre au sens strict est utile en analyse, je pense au théorème de la bijection : c’est la stricte monotonie d’une fonction qui assure son injectivité, la monotonie au sens large ne suffit pas.

En revanche, si on veut montrer qu’une suite est convergente en montrant qu’elle est croissante et majorée, la croissance au sens large suffit : dans un tel contexte, inutile de se fatiguer à manipuler des inégalités strictes.

De manière générale, pour savoir quelle hypothèse est nécessaire (inégalité stricte ou large) pour appliquer un théorème, il suffit d’avoir appris ce théorème, précisément (éventuellement, avec sa démonstration, ce qui permet de mieux comprendre le pourquoi de l’hypothèse requise).

[invited4743cb4]

D'accord, merci.