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DM Ts : Suites et inégalités



  1. #1
    Mezame

    DM Ts : Suites et inégalités


    ------

    Bonjour à tous,

    Je suis actuellement en Terminale S et j'ai un DM à rendre pour vendredi. Je l'ai terminé à l'exception d'un exercice qui, je l'avoue, me pose problème. Je vous donne l'énoncé avant de vous détailler tout ce que j'ai déjà fait.

    Enoncé :

    Soit (Un) et (Vn) les suites définies pour tout entier naturel non nul, par :

    Un = 1/(1+√n) + 2/(1+√(2n)) + ... + n/(1+n),

    Vn = 1/(1+n²) + 2/(2+n²) + ... + n/(n+n²)


    Démontrer que, pour tous les entiers naturels non nuls n et k tels que 1 ≤ k ≤ n :

    1/(1+√(kn)) ≥ 1/(1+n).

    En déduire que Un ≥ (1/2)n et déterminer la limite de la suite (Un).

    Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, 1/2 ≤ Vn ≤ (n(n+1))/(2(n²+1)).

    En déduire que la suite (Vn) est convergente et préciser sa limite.


    Et voici ce que j'ai déjà fait :

    J'ai donc commencé l'exercie et réussi à prouver que 1/(1+√(kn)) ≥ 1/(1+n) (soit, la première partie de la question 1°). En revanche, la seconde partie de cette même question me donne vraiment du fil à retordre puisque je n'arrive pas à prouver que Un ≥ (1/2)n. Toutefois, je réussi quand même à déterminer la limite de la suite (elle tend vers +∞ lorsque n tend vers +∞).

    En ce qui concerne la seconde question, je réussi à déterminer la convergence de la suite (elle converge vers 1/2), mais n'arrive pas à prouver que 1/2 ≤ Vn ≤ (n(n+1))/(2(n²+1)).


    J'apprécierais donc énormément que vous puissiez me donner quelques pistes (mais pas de réponses) afin de répondre à ces deux questions.

    En vous remerciant d'avance,


    Mezame.

    -----

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  3. #2
    Mezame

    Re : DM Ts : Suites et inégalités

    Désolé de poster un seconde message directement à la suite du premier (je n'arrive pas à éditer mon message =( ), mais je voulais juste préciser que je viens de resoudre la question 1°.

    Toutefois, je bloque toujours sur la seconde.


    Mezame.

  4. #3
    MMu

    Re : DM Ts : Suites et inégalités

    . Si tu connais t'as gagné ..

  5. #4
    Mezame

    Re : DM Ts : Suites et inégalités

    Merci énormément MMu, ton aide m'a permis de résoudre cette question. =)


    Toutefois, je me permets de solliciter votre aide à nouveau car en me relisant, je viens de me rendre compte que j'ai commis une énorme erreur à la question 1°où il faut que je prouve que Un ≥ (1/2)n.

    J'ai réussi à prouver que Un ≥ n(1/(1+n)) et que (1/2)n ≥ n(1/(1+n)).
    Et là, distraitement, j'en avais conclu que Un ≥ (1/2)n, alors que rien ne me permet de le dire. Pourriez-vous, s'il vous pllaît, m'expliquer comment faire pour prouver cela (car cela fait plusieurs heures que je planche dessus, mais je ne trouve toujours rien... ).

    D'avance merci,

    Mezame.

  6. #5
    Mezame

    Re : DM Ts : Suites et inégalités

    Désolé de remonter le sujet mais après plusieurs heures à plancher sur cette question, je vous avouerais qu'un petit coup de pouce serait le bienvenue...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    MMu

    Re : DM Ts : Suites et inégalités

    Pour Un utilise et ensuite ..

  9. Publicité
  10. #7
    Mezame

    Re : DM Ts : Suites et inégalités

    Merci beaucoup pour votre aide.
    Grâce à cette méthode, j'ai réussi à répondre à cette question. =)

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