Bonjour à tous,
Je suis actuellement en Terminale S et j'ai un DM à rendre pour vendredi. Je l'ai terminé à l'exception d'un exercice qui, je l'avoue, me pose problème. Je vous donne l'énoncé avant de vous détailler tout ce que j'ai déjà fait.
Enoncé :
Soit (Un) et (Vn) les suites définies pour tout entier naturel non nul, par :
Un = 1/(1+√n) + 2/(1+√(2n)) + ... + n/(1+n),
Vn = 1/(1+n²) + 2/(2+n²) + ... + n/(n+n²)
1° Démontrer que, pour tous les entiers naturels non nuls n et k tels que 1 ≤ k ≤ n :
1/(1+√(kn)) ≥ 1/(1+n).
En déduire que Un ≥ (1/2)n et déterminer la limite de la suite (Un).
2° Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, 1/2 ≤ Vn ≤ (n(n+1))/(2(n²+1)).
En déduire que la suite (Vn) est convergente et préciser sa limite.
Et voici ce que j'ai déjà fait :
J'ai donc commencé l'exercie et réussi à prouver que 1/(1+√(kn)) ≥ 1/(1+n) (soit, la première partie de la question 1°). En revanche, la seconde partie de cette même question me donne vraiment du fil à retordre puisque je n'arrive pas à prouver que Un ≥ (1/2)n. Toutefois, je réussi quand même à déterminer la limite de la suite (elle tend vers +∞ lorsque n tend vers +∞).
En ce qui concerne la seconde question, je réussi à déterminer la convergence de la suite (elle converge vers 1/2), mais n'arrive pas à prouver que 1/2 ≤ Vn ≤ (n(n+1))/(2(n²+1)).
J'apprécierais donc énormément que vous puissiez me donner quelques pistes (mais pas de réponses) afin de répondre à ces deux questions.
En vous remerciant d'avance,
Mezame.
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. Si tu connais 