exemple d'implication

[invitee9563338]

Bonjour,
concernant l'opération d'implication, j'ai un peu de mal (mais beaucoup de choses m'échappent) à trouver un exemple mathématique simple d'implication. Je veux dire une proposition où il n'y a que implication et non équivalence.
il fait beau => je vais me promener . Ok c'est de la prose ça va.

Et par exemple, lorsqu'on a :
si x appartient à [-1;1] , alors x² appartient à [0;1]
on est dans un cas d'équivalence, on peut certes le démontrer en démontrant les 2 implications
x appartient à [-1;1] => x² appartient à [0;1]
x² appartient à [0;1] => x appartient à [-1;1]
Mais au final c'est une équivalence.

Avez-vous un exemple si possible aussi simple que ci-dessus, où l'on a une implication uniquement, sans équivalence ?

Merci d'avance et navré si ma question est triviale.
-----

[invitee9563338]

En fait, j'ai bien des exemples, mais ce sont toujours des cas particuliers (ou des intermédiaires de démonstration), je n'en trouve pas avec une portée générale.
Par exemple en reprenant l'exemple ci-dessus, on aurait l'implication suivante :
(x² = 1) => x appartient à [-1;1] (ce qui a assez peu d'intérêt, sauf si on déduit "x²=1", à partir d'hypothèses de départ, et que "x appartient à [-1;1]" est utilisé par la suite pour arriver à une autre conclusion)

[invite03f2c9c5]

Les exemples sont pourtant très courants. Pour en donner du même genre que les vôtres, quel lien logique peut-on placer entre « x appartient à [0;1] » et « x² appartient à [0;1] » ?

[inviteaf1870ed]

On a aussi simplement a=b => a^2 = b^2 alors que la réciproque est bien fausse...

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

(...) j'ai un peu de mal (mais beaucoup de choses m'échappent) à trouver un exemple mathématique simple d'implication.

Bonsoir,

A chaque fois que dans un théorème, une propriété, un raisonnement, etc ... on est amené à dire "cette condition est nécessaire mais pas suffisante", ou "cette condition est suffisante mais pas nécessaire", ou "... mais la réciproque est fausse", alors il n'y a pas d'équivalence, ... et je pense que s'il fallait faire le top 10 des phrases les plus répandues en maths, ces 3 là y figureraient "finger" ... c'est dire s'il n'est pas très difficile de trouver des exemples de non-équivalences, tellement elles sont omniprésentes !

Par exemple : ( f bijective ) => ( f surjective )

"... mais la réciproque est fausse"

ou bien

Pour que f soit bijective, f surjective est une "condition nécessaire mais pas suffisante"

ou bien

Pour que f soit surjective, f bijective est une "condition suffisante mais pas nécessaire"

[invitee9563338]

Merci pour vos réponses.

Donc question triviale, en effet.
C'est évident maintenant, avec vos contributions.

[invitee9563338]

Sans doute que ma question va encore être stupide, mais j'ai un problème avec la définition de l’opération d'implication.
soit (A=>B)
Il est dit que si A est faux alors (A=>B) est vraie.

reprenons l'exemple donné :
a=b(A), alors a²=b²(B)

Ca voudrais dire que si A est faux la proposition suivante est vraie.
Si A est faux, c'est à dire a<>b, alors (a=b, alors a²=b²) est vraie ?
ou peut-être :
(a<>b, alors a²=b²) est vraie, mais là, je comprends a peu près que non, car on a une implication où B est faux, donc l'implication est fausse, c'est à dire la reciproque est fausse, ce qui est la définition même de l'implication (quoique l'implication servant à définir l'implication, ça me trouble un peu).

bref, c'est un peu confus pour moi.

[invite8ac20103]

Bonsoir,

Si tu débutes avec une proposition fausse tu peux démontrer tout et surtout n'importe quoi.

Cdt

[invitee9563338]

ah ? J'aurais dis l'inverse:
si tu commences avec une proposition fausse tu ne peux rien demontrer !

[PlaneteF]

Bonsoir,

Sans doute que ma question va encore être stupide, mais j'ai un problème avec la définition de l’opération d'implication.
soit (A=>B)
Il est dit que si A est faux alors (A=>B) est vraie.

reprenons l'exemple donné :
a=b(A), alors a²=b²(B)

Ca voudrais dire que si A est faux la proposition suivante est vraie.
Si A est faux, c'est à dire a<>b, alors (a=b, alors a²=b²) est vraie ?
ou peut-être :
(a<>b, alors a²=b²) est vraie, mais là, je comprends a peu près que non, car on a une implication où B est faux, donc l'implication est fausse, c'est à dire la reciproque est fausse, ce qui est la définition même de l'implication (quoique l'implication servant à définir l'implication, ça me trouble un peu).

bref, c'est un peu confus pour moi.

Je vais en revenir à mes histoires de conditions nécessaires et suffisantes (cf. message#5).

Dire que l'implication (A => B) est vraie revient à dire que la condition B est nécessaire pour que A soit vraie, ou bien que la condition A est suffisante pour que B soit vraie, ... ou encore, et ce qui revient exactement au même, on ne peut pas avoir simultanément A vraie et B fausse.

Donc, application au cas : (a=b) => (a²=b²)

On ne peut pas avoir simultanément (a=b) et (a²<>b²) (trouve moi un cas qui marcherait ).

Par contre, si (a<>b), "tout est permis", on peut tout aussi bien être avoir (a²=b²) vraie (exemple : a=-2 et b=2) que fausse (exemple a=12 et b=178542589).

ah ? J'aurais dis l'inverse:
si tu commences avec une proposition fausse tu ne peux rien demontrer !

-2=2 est une proposition fausse.

J'éléve les 2 membres de cette égalité au carré, ce qui donne 4=4, qui est une proposition vraie !

[PlaneteF]

-2=2 est une proposition fausse.

J'éléve les 2 membres de cette égalité au carré, ce qui donne 4=4, qui est une proposition vraie !

Juste une petite précision sur cet exemple (je me suis fait avoir avec le délai de modification de message fixé à 5 min ), en écrivant cela on ne démontre rien, mais cela illustre qu'avec une relation d'implication vraie, on peut partir d'une proposition fausse, pour arriver à une proposition vraie.

[PlaneteF]

Donc, application au cas : (a=b) => (a²=b²)

On ne peut pas avoir simultanément (a=b) et (a²<>b²) (trouve moi un cas qui marcherait ).

Par contre, si (a<>b), "tout est permis", on peut tout aussi bien être avoir (a²=b²) vraie (exemple : a=-2 et b=2) que fausse (exemple a=12 et b=178542589).

Et pour compléter cela, de la même manière, si (a²=b²) est vraie, on peut tout aussi bien être avoir (a=b) vraie (exemple : a=2 et b=2) que fausse (exemple a=-2 et b=2)

[invitee9563338]

Bonsoir,
Par contre, si (a<>b), "tout est permis", on peut tout aussi bien être avoir (a²=b²) vraie (exemple : a=-2 et b=2) que fausse (exemple a=12 et b=178542589).

-2=2 est une proposition fausse.

J'éléve les 2 membres de cette égalité au carré, ce qui donne 4=4, qui est une proposition vraie !

Merci beaucoup pour vos explications, ça fait petit à petit son chemin dans les méandres de ma cervelle.

Mais j'ai encore un peu de difficulté ... Vous avez l'air de dire que parce qu'on peut arriver à une proposition vraie à partir d'une fausse, cela explique que l'implication est vraie.
Mais on peut aussi arriver à une proposition fausse :
2=3 est faux et 2²=3² est faux
Alors pourquoi ne pas considérer que l'implication est fausse ? En quoi est-elle vraie ?

Et pour compléter cela, de la même manière, si (a²=b²) est vraie, on peut tout aussi bien être avoir (a=b) vraie (exemple : a=2 et b=2) que fausse (exemple a=-2 et b=2)

Mais dans ce cas l'implication est fausse, non ?

[PlaneteF]

Vous avez l'air de dire que parce qu'on peut arriver à une proposition vraie à partir d'une fausse, cela explique que l'implication est vraie.

Ah non, je n'ai jamais dit ou voulu dire cela, ... d'ailleurs j'avais apporté une précision dans le message#11 disant qu'il s'agissait juste d'une illustration de l'un des cas possibles de la relation d'implication.

2=3 est faux et 2²=3² est faux
Alors pourquoi ne pas considérer que l'implication est fausse ? En quoi est-elle vraie ?

Par définition, la seule implication fausse est : (vrai => faux), ce qui n'est pas le cas de cet exemple ... donc cette implication est vraie, ... de la même manière :

(Paris est la capitale de la Suède) => (2+2=4) est une implication vraie

(Paris est la capitale de la Suède) => (2+2=32147) est une implication vraie

(Paris est la capitale de la France) => (2+2=4) est une implication vraie

Par contre :

(Paris est la capitale de la France) => (2+2=32147) est une implication fausse !

Mais dans ce cas l'implication est fausse, non ?

Non, l'implication est vraie, toujours pour la même raison, on n'est pas dans le cas : (vrai => faux), mais soit dans le cas (vrai => vrai), soit dans le cas (faux => vrai).

[Médiat]

Bonjour,

Les problèmes de compréhension autour de l'implication viennent généralement de ce qu'on lui attribue un rôle de cause à effet ce qui est un gros faux-sens

Il suffit de savoir que l'implication "A implique B" est juste une abbréviation pour dire "Non A ou B", en appliquant cette définition, le fait que votre implication "2=3 implique 2²=3² " est vraie ne pose plus de problème ((2=3) étant faux, non (2=3) est vrai).

[invitee9563338]

Bonjour,

Les problèmes de compréhension autour de l'implication viennent généralement de ce qu'on lui attribue un rôle de cause à effet ce qui est un gros faux-sens

Il suffit de savoir que l'implication "A implique B" est juste une abbréviation pour dire "Non A ou B", en appliquant cette définition, le fait que votre implication "2=3 implique 2²=3² " est vraie ne pose plus de problème ((2=3) étant faux, non (2=3) est vrai).

Oui je crois qu'effectivement le problème est là.
L'implication est traduit par "si...alors..." (ça ressemble beaucoup à un lien de cause-conséquence, non ?)
Ca m'est assez difficile de considérer comme vrai :
si 1=2, alors un triangle est carré
ou
si 2²=4, alors 10+10=20
Ca n'a pas de sens pour moi. Ca ressemble à un problème de logique, qu'on rencontre parfois en statistiques, sous prétexte que 2 caractéristiques d'une population évoluent dans le même sens elles sont liés.
Les alsaciens mangent de la choucroute.
Les alsaciens votent majoritairement à droite.
Les 2 propositions étant vraies on peut établir l'implication vraie :
Si les alsaciens mangent de la choucroute, alors il votent à droite.

(Note : je ne me moque pas, je suis alsacien...)

[inviteaf1870ed]

Pourtant la sagesse populaire te dit bien que si A est faux, alors B peut valoir n'importe quoi. C'est le sens de l'expression "quand les poules auront des dents..."

[invitee9563338]

Pourtant la sagesse populaire te dit bien que si A est faux, alors B peut valoir n'importe quoi. C'est le sens de l'expression "quand les poules auront des dents..."

Mais expression qui, justement, veut dire que ce n'est pas vrai.
Quelle utilisation fait-on d'une implication vraie, mais dont la première proposition est fausse ?
De 2 propositions vraie que l'on peut alors liées par une implication ? Ou d'une fausse et d'une vraie ?
Je désespère un peu, ça à l'air tellement évident pour vous !

Je comprends bien le lien de déduction ou indiction, et donc l'implication. Mais quand ce lien est rompu et que l'on continue à dire que l'implication est vraie...

[gg0]

Bonjour.

"Quelle utilisation fait-on d'une implication vraie, mais dont la première proposition est fausse ?"

On s'en sert souvent en maths, parfois même sans y penser. Par exemple dans une résolution d'équation dont on ne sait pas si elle a des solutions. Implicitement, on suppose que x est une solution, et on en déduit des conséquences sur x, qui peuvent être fausses (x²=-4 alors que x est un réel - donc pas de solution) ou non (x=3 alors qu'il n'y a pas de solution - fausses solutions). Ceci quand on raisonne par implication.
On s'en sert aussi pour ne pas faire de cas particuliers de l'ensemble vide ( est toujours faux), mais c'est assez technique.

Cordialement.

[invitee9563338]

Et pour compléter cela, de la même manière, si (a²=b²) est vraie, on peut tout aussi bien être avoir (a=b) vraie (exemple : a=2 et b=2) que fausse (exemple a=-2 et b=2)

Grâce à cette phrase je pensais avoir compris qu'une implication vraie est simplement une implication pour laquelle les propositions en jeu peuvent avoir des occurrences dans les états vrais ou faux.
C'est à dire, comme les exemples que vous m'avez donné il est possible d'avoir :
A vraie et B vraie (c'est l'intérêt de l'implication)
A fausse, mais B vraie
A fausse et B fausse
mais on ne peut pas avoir A vraie et B fausse, c'est simplement impossible.

En fait, c'est impossible s'il y a un lien de cause à effet...(un terme commun dans les 2 propositions par exemple).
si (a=2)=(b=2) [donc A vraie], alors (a²=4)<>(b²=4) [donc B fausse] (impossible)
si (a=-2)<>(b=2) [donc A fausse], alors (a²=4)=(b²=4) [donc B vraie] (possible)
si (a=3)<>(b=2) [donc A fausse], alors (a²=9)<>(b²=4) [donc B fausse] (possible)
si (a=2)=(b=2) [donc A vraie], alors (a²=4)=(b²=4) [donc B vraie] (possible)

(lorsque que l'implication est vraie et que A est vraie, on a potentiellement une généralité qui qui peut devenir un théorème ? Lorsque A est fausse on a uniquement des cas particuliers ?)

Par contre quand il n'y a pas de lien entre les propositions, je ne vois pas ce qui donnerait aux exemples suivants, plus de raisons d'être vrais que faux, notamment en écrivant 2+2=32147 (qui est quelque chose d'impossible). Si ce n'est par définition de l'implication.

(Paris est la capitale de la Suède) => (2+2=4) est une implication vraie
(Paris est la capitale de la Suède) => (2+2=32147) est une implication vraie
(Paris est la capitale de la France) => (2+2=32147) est une implication fausse !

Ensuite, pour démontrer une implication, arrive-t-il que l'on dise puisque A est fausse et B vraie, donc l'implication est vraie ?
Peut-être que je borne mon esprit, mais j'ai bien des exemples ou l'on montre que si A est vraie et B est toujours vraie alors A=>B vraie, ou alors la contraposée si B est fausse et A est toujours fausse.
On a aussi le raisonnement par l'absurde où l'on part d'une supposition d'implication fausse (on est sensé ignorer qu'elle est fausse) pour montrer la contradiction (et donc l'impossibilité mentionnée plus haut).
Mais y a-t-il une démonstration où l'on parvient à : puisque A fausse et B vraie alors (A=>B) vraie. J'entends une démonstration dont la conclusion est utile (et de portée générale).

Pour finir, une implication sans lien entre les termes cela a-t-il un sens ? Alors que pour l'opération (nonA ou B) peu importe le lien, on ne l'impose pas. Ce qui ferait qu'il y a une différence (sémantique) entre l'implication et l'opération (nonA ou B), les 2 donnant toutefois la même table de vérité.
Sinon a quoi bon inventer l'implication ?

Désolé si je m'enlise, où si j'ai l'air d'insister pour rien, mais cela me trouble toujours un peu.
Dans tous les cas, merci pour vos contributions.