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Exercice Partie entière.



  1. #1
    Sarah2006

    Exercice Partie entière.


    ------

    Salut ! j'ai un mini exercice sur les parties entières !

    J'ai du mal a le finir ..

    voilà :

    x€R, F(x)=x-E(x) ou E(x) designe la parti entière de x..
    Dans les premières questions on a prouvé que

    0<=F(x)<1

    et que F(x+k)=F(x), k€Z

    A partir de là on me demande d'etablir que F(nx)=F(nF(x)).


    et ensuite montrer l'equivalence :
    x€Q<=>il existe q€N*, F(qx)=0
    Voilà, je griphonne mais je n'aboutit pas, si quelqu'un aurait un coup de pouce

    Merci et au passage ! Bonne année !

    -----

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  3. #2
    matthias

    Re : Exercice Partie entière.

    Citation Envoyé par Sarah2006
    A partir de là on me demande d'etablir que F(nx)=F(nF(x)).
    Une petite récurrence en utilisant ce que tu as montré précédemment devrait faire l'affaire. Tu peux par exemple penser à prendre un multiple bien choisi de E(x) pour la valeur de l'entier k.

  4. #3
    Sarah2006

    Re : Exercice Partie entière.

    Ok, je me suis lancer dans la récurence, mon Hypothese de récurence est donc que F(nx)=F(nF(x)).

    et je doit prouver que F[(n+1)x]=F[(n+1)F(x)].

    onsait que F(x+k)=F(x), si je prend k=x, ça devrait marcher normalement! mais j'y arrive pas. Si je vois pas quelle valeur de K puis je prendre...de +, multiple de E(x)..

  5. #4
    matthias

    Re : Exercice Partie entière.

    Citation Envoyé par Sarah2006
    si je prend k=x, ça devrait marcher normalement!
    Non puisque k doit être entier.

    Citation Envoyé par Sarah2006
    Si je vois pas quelle valeur de K puis je prendre...de +, multiple de E(x)..
    essaye d'abord de passer de n=0 à n=1, puis de n=1 à n=2, ça te donnera peut-être des idées.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    nissart7831

    Re : Exercice Partie entière.

    Citation Envoyé par Sarah2006
    etablir que F(nx)=F(nF(x)).
    Bonjour,

    on peut aussi procéder sans récurrence. Il suffit d'écrire la définition de F(x), de remarquer que E(x) est un entier relatif et d'utiliser la relation F(x+k)=F(x), k€Z.

  8. #6
    matthias

    Re : Exercice Partie entière.

    Citation Envoyé par nissart7831
    on peut aussi procéder sans récurrence.
    Oui on doit même, la récurrence ne sert à rien en fait. Je n'avais pas regardé d'assez près.

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  10. #7
    Sarah2006

    Re : Exercice Partie entière.

    Citation Envoyé par matthias
    Oui on doit même, la récurrence ne sert à rien en fait. Je n'avais pas regardé d'assez près.

    Bon ! A la poubelle ma feuille !! Je recommence, mais c'est très très gentil de ta pars matthias, et tant mieu, j'ai jamais aimé les récurences.

    On va essayer comme vous le dite alors !

  11. #8
    Sarah2006

    Re : Exercice Partie entière.

    RHHHHHHHHHHAAAAA ça m'énerve !

    Quand doit on utiliser F(x+k)=F(x),
    Je tourne en roondd...

  12. #9
    nissart7831

    Re : Exercice Partie entière.

    Bonjour,

    je t'ai tout dit dans mon message. Pour préciser, tu dois te servir de F(x+k) = F(x) 2 fois pour conclure.
    commence par exprimer F(nF(x)) en fonction de la définition de F(x) et utiliser ce que je t'ai dit précédemment.

  13. #10
    Sarah2006

    Re : Exercice Partie entière.

    Alors si c'est ça , honte a moi, car plus facile y avait pas ! :

    F(nF(x))=F[nx-nE(x)]
    =F(nx+k) avec k=-nE(x) €Z car n€N et E(x)€Z
    or F(x+k)=F(x)
    donc =F(nx)....

    C'était aussi simple...honte a moi oui...

    maintenant si tu pouvait me donner un coup de pouce pour la derniere question.

    Je te remercie deja bcp pour ça !!!!!

  14. #11
    nissart7831

    Re : Exercice Partie entière.

    Commence par le côté le plus rapide, i.e. :
    ...
    en écrivant ce qu'est un rationnel. Après, il suffit d'utiliser les relations précédemment démontrées.

    Dans l'autre sens, écris d'une autre manière F(qx), d'après toujours les mêmes relations et utilise la définition de F. Tu vas arriver à une condition qui implique que

  15. #12
    Sarah2006

    Re : Exercice Partie entière.

    Bon, je crois que c'est bon :

    il existe q€N*,F(qx)=0 <=>qx-E(qx)=0<=>x=E(qx)/q

    q€N*, E(qx)€ Z---> c'est un rationnel

    Confirmation ?!

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  17. #13
    nissart7831

    Re : Exercice Partie entière.

    OK,

    maintenant il te reste à montrer l'implication inverse, mais c'est la plus simple.

  18. #14
    Sarah2006

    Re : Exercice Partie entière.

    x€Q=>x=p/q, q€N* et p€Z =>qx-p=0 , on pose p=E(x) =>F(qx)=0.


    ça va comme ça ?

    Je penser que on pouvait procédé par equivalence et pas la peine de faire cette partie inverse..

  19. #15
    nissart7831

    Re : Exercice Partie entière.

    Citation Envoyé par Sarah2006
    x€Q=>x=p/q, q€N* et p€Z =>qx-p=0 , on pose p=E(x) =>F(qx)=0.


    ça va comme ça ?
    non !
    C'est bien parti, mais ce qui ne va pas , c'est de poser p= E(x). Ca veut dire que x= E(x)/q, ce qui veut dire que tu peux toujours trouver un entier naturel non nul (q) tel que qx = E(x). Et bien non. Voilà un contre exemple : x=5/3, E(x) = 2.

    En fait, tu as montré que qx-p = 0. Applique F à chaque membre de l'inégalité et utilise une relation démontrée et c'est fini.

  20. #16
    Sarah2006

    Re : Exercice Partie entière.

    ok merci monsieur ::==>

    qx-p=0
    F(qx-p)=F(0)=0
    F(qx) = 0 en posant -p = k avec la relationF(x+k)=F(x)

  21. #17
    nissart7831

    Re : Exercice Partie entière.

    Et voilà, une bonne chose de faite !

  22. #18
    Sarah2006

    Re : Exercice Partie entière.

    bah j'te remercie vraiment :! Toujours content de trouver de l'aide sur ce forum.

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  24. #19
    macene

    Re : Exercice Partie entière.

    bon soir, j'ai formulé une réponse a cette exercice dites moi est ce qu'elle est logique ou pas ?
    on a comme donnée F(x)=x-E(x)..............(1)
    et que F(x)=F(x+k)................... ...............(2)

    -) montrer que F(nx)=F(nF(x))

    selon (1)et(2) et par transitivité on a
    x-E(x)=F(x+k)..........(3)
    d'autre par on a x=F(x)+E(x) selon (1)
    en remplaçant dc x ds (3) on trouve:
    x-E(x)=F(F(x)+E(x)+k) ce qui fait que
    F(x)=F(F(x)+E(x)+k)
    par identification on a
    F(nx)=F(n(F(x)+E(x)+k)) implique F(nx)=F(nF(x)+n(E(x)+k))

    sachant que
    0≤F(x) <1 implique 0≤E(x)+k<1
    Sachant que k appartiens Z et que E(x) est le nombre entier inferieur de x Ce qui fait que E(x)+k=0 implique n(E(x)+k)=0 implique F(nx)=F(nF(x)) CQFD

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