Somme de diviseurs.

[invitec59380e1]

bonjour, je dois calculer la somme de tous les diviseurs de 5544.
j'ai montré à la question precedente que 5544=2³x3²x7x11 et qu'on a 48 diviseurs possibles!
C'est à partir de là que je ne sais pas comment m'y prendre, la methode un peu "bourrine" cousisterait à donner les 48 diviseurs et à en faire la somme. Je pense qu'il y a surement une methode plus rapide que ca ! Pouvez-vous m'aider?

Merci d'avance
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[invite705d0470]

La fonction "somme des diviseurs de n", notons la par exemple , est très intéressante lorsque l'on manipule un produit, puisque cette fonction est multiplicative (essayez de le montrer en revenant à la définition*): on a donc dans votre cas que .
Or il est clair que pour des nombres premiers, .
Que dire de ?

DU coup vous pouvez conclure pour votre nombre, mais aussi de manière très générale en décomposant les entiers en produit de nombres premiers puis en réutilisant les résultats précédents

* on peut remarquer que si m et n sont premiers entre eux, est bijective (pour regrouper de manière efficace les diviseurs dans des sommes à contenu arithmétique comme c'est le cas ici).

[invitec59380e1]

Merci pour votre réponse!

intuitivement je dirais que v(p^k) est égale à la somme de de l=0 à l=k de p^l

Cependant la fonction "somme des diviseurs" n'est pas une fonction que je connais, pourriez vous me donner la definition afin que je puisse démontrer la multiplicativité

Merci

[inviteea16dac2]

C'est la fonction définie sur les entiers, qui à un entier associe la somme de ses diviseurs. Il n'y a rien à en tirer de savoir que c'est une fonction. Pour la multiplicativité il faut montrer que pour et premier entre eux tel que sont les diviseurs de et ceux de alors est la somme des diviseurs de . Donc que les diviseurs de ab sont exactement les produits sans répétition. Si et ne sont pas premiers entre eux alors soit un diviseur commun à et différent de , on voit que le diviseur apparaît deux fois dans la famille des mais une seul fois dans la famille des diviseurs de donc la fonction n'est pas complètement multiplicative.

[A voir en vidéo sur Futura]