2002 diviseurs

[invite425270e0]

Bonjour,

j'étais en train de faire deux trois exos d'arithmétiques (sur les nombres permiers essentiellement) et j'tombe sur cet exo:

Quel est le plus petit nombre admettant 2002 diviseurs?

On sait que le nombre de diviseurs est le produit des sommes des exposant et de un, lorsque ce nombre est décomposé en facteur premier... mais ça aide pas vraiment.
Quelqu'un à une piste?

Merci,

Cordialement, Universmaster.
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[invite2220c077]

Sympa ton exercice ... Je dirais que est le plus petit, mais je n'en suis pas sûr

Je continue à chercher, je te tiens au courant.

[prgasp77]

Réponse en spoiler. Si tu cherches juste des indications, précise-le je te guiderai.

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Tout entier n ayant pour décomposition en facteur premier admet strictement diviseurs (y compris 1 et lui même).
Or, 2002 = 2*7*11*13 = (1+1)*(6+1)*(10+1)*(12+1). Ainsi, tout nombre ayant strictement 2002 diviseurs est de la forme .
Ainsi, le plus petit nombre vérifiant cette propriété est 2¹².3¹⁰.5⁶.7¹ = 26453952.10⁶

[invite2220c077]

Oui voilà, c'est ce que j'avais trouvé, mais ta réponse n'est pas assez rigoureuse, car en fait, il faut que tu montres que le plus petit nombre que tu peux former est de la forme parcequ'en fait l'équation admet plusieurs solutions, avec n <= 4 (puisque )

[A voir en vidéo sur Futura]

[prgasp77]

Zweig : Il me semble que ton nombre n'admet que 30 diviseurs, à savoir toute puissance de 2 inférieure ou égale à 2²⁹ (1 compris).
Concernant ton dernier message : tu as raison; Mais il s'agit d'une réponse et non d'une démo, qui est LAL.

[invite2220c077]

Bah non :

On a bien (1+1)(6+1)(10+1)(12+1) = 2002

EDIT : Ok ça ne marche pas je pense car ce sont les même nombres premiers ...

[invite425270e0]

J'ai pas regardé la rep, j'voulais simplement des pistes

parce que appart le fait que , j'vois pas d'autre infos

[prgasp77]

There is the key :

Tout entier n ayant pour décomposition en facteur premier admet strictement diviseurs (y compris 1 et lui même).

Le mieux serait de le démontrer, ainsi que sa réciproque.
God luck.

[invite425270e0]

Oui je suis d'accord, mais de cette propriété on en déduit seulement que:




Ou y a-t-il autre chose?

[invite7ffe9b6a]

Oui je suis d'accord, mais de cette propriété on en déduit seulement que:




Ou y a-t-il autre chose?

décompose 2002 en facteurs premiers

[invite425270e0]

Donc

[invite425270e0]

Dois-je en déduire que ça donne:



Ok, ce nombre admettra 2002 diviseurs, mais sera-t-il le plus petit? Il faut le démontrer (car sinon il y avait plus simple: )

[invite2220c077]

mais aussi 2002 = (1+1)(1000+1) = (13 + 1)(142 + 1) = etc ...

[invite425270e0]

Lol ouais, comment savoir lequel est le plus petit? ou le démontrer que y'en a un plus petit? (Parce que en essayant toutes les possibilités on est pas arrivé :s)

[invite1237a629]

Tu sais que ces puissances doivent être affectées à des nombres premiers.

Donc mets les plus grandes puissances sur les plus petits nombres premiers et ainsi de suite =)

[invite425270e0]

Ouais ça me semble pas bête, mais ça sera bien rigoureux?

[invite1237a629]

Le problème dans ce genre de choses, c'est justement si une démonstration est rigoureuse ou pas. J'ignore ce que tu entends par là. Quand je parle du caractère rigoureux d'une démonstration, je pense au fait qu'on utilise des formules, des théorèmes et non une simple intuition.
Or, elle est parfois inévitable (ou bien on est trop nuls pour voir la démonstration rigoureuse ). Et là, c'est de la logique, quant à le démontrer...Ce serait chercher midi à 14h

[invite425270e0]

lol, justement ce n'est pas rigoureux quand on pense que c'est logique. On pense que c'est une évidence, mais reste à la démontrer. Donc je ne sais pas s'il y a un moyen de le démontrer (par logique ou avec théorème, axiome, propriétés etc..) ou si c'est suffisant comme ça ^^

[prgasp77]

Tout entier n ayant pour décomposition en facteur premier admet strictement diviseurs (y compris 1 et lui même).

Bonjour.
L'idée est réellement de démontrer l'assertion ci-dessus, ainsi que sa réciproque (qui est vraie). Une fois cela fait, il ne reste plus qu'à trouver la répartition des puissances qui donnent le plus petit nombre (le démontrer, voire le laisser au lecteur )

Courage !