Bonjour,
J'ai un soucis dans la réalisation d'un exercice, merci de m'aider:
Énoncé:
On examine dans cet exercice deux méthodes différentes pour tester la contamination par une bactérie de 400 bouteilles de lait choisies au hasard dans un pays. Dans tout l exercice, thêta est un réel fixé, élément de l intervalle {0;10}. On suppose que, pour chaque bouteille, la probabilité de contamination est égale à thêta. On dispose d' un test permettant de manière certaine de savoir si l'échantillon de lait est contaminé ou non(quel que soit le volume de cet échantillon).
1) Dans cette question on adopte une méthode simple consistant à tester une par une chaque bouteille. On note Xk la variable de bernouilli valant 1 si la k-ième bouteille est contaminée. On supposera que les variables aléatoires (Xk) (avec k compris entre 1 et 400 inclus) sont mutuellement indépendantes.
a) Soit la variable aléatoire Z= (1/400)*somme Xk (k de 1 à 400). Montrez que E(Z)=thêta puis calculer V(Z) et justifiez que V(Z)<=(1/4000)
Réponse: Pour l'espérance je pense que comme X suit une loi binomiale B(400,thêta) on a E(Z)=(1/400)*400*thêta=thêta comme espérance d'une loi binomiale B(n,p) vaut n*p.
Cependant pour la variance je n'y arrive pas, d'apres moi ca devrait être: V(Z)=(1/400)*V(X)=(1/400)n*p(1-p)=thêta(1-thêta) (ca doit être faux)
Et pour montrer l'inégalité qui suit je ne vois pas.
Merci, hasta...
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