Exponentielle

[Snowey]

Bonjour à tous

J'étudie l'exponentielle d'endomorphismes.
On considère un chemin de classe C1 à valeur dans une sous algèbre commutative A de (E un C-ev de dimension n), et dont chaque image est un nilpotent.
On doit calculer .

Bon, mais je ne comprends pas la formule de dérivation suivante (peut être honte à moi): .
Enfin, une petite récurrence permet bien de montrer que c'est la formule générale pour dériver , donc admettons que l'on dérive le produit (on est dans une sous algèbre commutative, on a le droit et la derivée y appartient aussi en tant que limite d'éléments de cette algèbre, qui est fermée puisque sev de DF).
L'exponentielle que l'on cherche à calculer s'écrit , mais je pensais que c'était une composition et non une puissance !

Quelqu'un pourrait m'aider ? Je pense que ça me bloque pour mieux comprendre l'exponentielle d'endomorphismes...

Je pense comme celà car c'est un produit en exponentielle matricielle, ce qui correspond donc à une composition e! non pas un produit (celui-ci n'a d'ailleurs pas toujours du sens !) des endomorphismes. Ici le produit est toléré, mais pourquoi le confond-t'on avec la composition ? ce n'est tout de même pas la même chose, si ?
Bref, j'ai peur de faire une énorme confusion ...
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[Seirios]

Bonjour,

Le produit d'endomorphismes correspond justement à la composition. À quel produit pensais-tu ?

[Snowey]

:/
Pour des fonctions de R dans R, on peut définir la composition et le produit. Ces deux opérations étant différentes, je pensais de même que c'était le cas dans l'algèbre commutative A.
La notation en puissance est -pour moi- trompeuse ici puisque dans l'exponentielle elle signifie composition, mais j'ai cru que dans la dérivation c'étaient des produits d'endomorphismes ... (au sens du produit dans A et non de la composition justement ...)
Du coup la formule de dérivation est celle de composées et non pas de produit, c'est ça ? (d'où vient elle alors ?)

En tout cas merci de m'aider ! (encore une fois ...)

[Seirios]

Le produit de deux fonctions f et g de IR dans IR est défini par fg(t)=f(t)g(t) au sens du produit dans IR ; ici, c'est la même chose, au sens du produit dans L(E), qui correspond à la composition d'endomorphismes. Cela revient à confondre matrices et endomorphismes : on peut parler de produit de matrices ou de composition d'endomorphismess, mais c'est équivalent.

La formule de dérivation que tu obtiens vient bien de la dérivation d'une composition, puisque si A était commutative, tu retrouverais bien la formule classique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Snowey]

Hm ...
Vraiment confus !!
Je ne sais pas pourquoi j'avais décidé qu'une algèbre aurait nécessairement 3 lois (+,x,°) ...
Tout est clair, merci encore.