polynômes et degrés

[inviteee4d6ae7]

Bonjour, j'ai un exercice de maths à faire mais je n'y arrive pas, pouvez vous me donner des clés svp? mercii
voici l'énoncé:
déterminer un polynôme A de degré 2 tel que: quelque soit x appartenant à R, A(x+1)-A(x)=x
ce que j'ai fait:
A est un polynome de degré 2 donc il est de la forme A(x)=ax²+bx+c
donc A(x+1)-A(x)=x équivaut à a(x+1)²+b(x+1)+c-ax²-bx-c=x <=> a(2x+1)+b=x
le problème c'est que je suis bloquée à partir de là car j'ai une équation avec deux inconnues et je n'ai pas de système pour la résoudre.
-----

[invite705d0470]

En fait, l'équation que tu trouves est vérifiée par tous les x réels, donc tu n'as pas 1 équation à deux inconnues, mais une infinité d'équations à deux inconnues. Pourquoi ne pas prendre des valeurs simples de x pour déterminer a et b ? (0 et -1/2 par exemple)
Une autre possibilité, c'est de voir ça comme une égalité de deux polynômes de même degré, et donc qui ont nécessairement les mêmes coefficients. Là tu auras immédiatement les deux équations de ton système. Et tu retrouves bien le résultat de la première méthode.

Et comme il te reste le coefficient c de A(X), tu as trouvé tous les polynômes de degré 2 qui vérifient cette équation. En prenant c=0, tu trouves alors un polynôme solution (ce qui est ta question).

[inviteee4d6ae7]

merci de ton aide
si je suis ta première méthode, je trouve A(x)=1/4*x²-1/4*x, mais je crois que ce n'est pas ça la réponse car quand je remplace x par des valeurs dans la première équation, le résultat n'est pas égal à x

[jamo]

Bonjour
peux tu mettre le détail du calcul de a(x+1)²+b(x+1)+c-ax²-bx-c , en regroupant x² , x et les constantes

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteee4d6ae7]

ax²+2ax+a+bx+b+c-ax²-bx-c=x <=> 2ax-x+b+a=0
voilà ce que j'obtiens mais qu'est ce que cela change?

[jamo]

tu as 2ax-x+b+a=0
(2a-1)*x + b+a=0
je ne vois pas comment tu fais pour avoir a=1/4 dans ton message 3

[inviteee4d6ae7]

en fait j'ai remplacé x par 0 dans cette équation, puis x par -1/2 et j'en ai fait un système:{a+b=0 et b=-1/2+a}
et en le résolvant je trouve des valeurs de a et de b qui sont respectivement 1/4 et -1/4 avec c=0
d'où A(x)=1/4*x²-1/4*x mais c'est faut car quand je remplace x par une valeur dans la toute premiere équation, le résultat n'est pas égal à la valeur de départ.

[jamo]

vu ce que tu as trouvé : (2a-1)*x + b+a=0 = 0*x+0 ( égalité de polynômes )
donc 2a-1=0 et b+a=0 , je te laisse finir

[gg0]

Titrit96,

b=-1/2+a est faux (prendre x=-1/2 sert à faire disparaître les a, donc il n'en reste pas ...)

Cordialement.

[inviteee4d6ae7]

mais pourquoi vouloir faire disparaitre les a ? j'ai pas compris

[gg0]

Ce n'est pas pour rien que Snowey t'avait proposé cette valeur. mais ton message montre bien que tu n'as pas refait correctement ton calcul, sinon tu ne poserais pas la question.
Fais, tu comprendras ... ce qu'on a vu sans faire le calcul.

[inviteee4d6ae7]

ce que je n'ai pas compris est "l'égalité des polynômes" je suis en première et je ne pense pas qu'on ait vu ça en cours, on a vu le polynome nul mais pas "l'égalité des polynômes"

[gg0]

Si deux polynômes sont égaux, le polynôme de leur différence est nul.
As-tu vu que sous forme réduite, tous les coefficients du polynôme nul sont nuls ? Cela suffirait.

Cordialement.

NB : Si tu es en première, que fais-tu sur le "forum du supérieur" ? On était fondés à penser que tu avais eu ça à apprendre au lycée des années avant !!

[inviteee4d6ae7]

merci, j'ai mis cet exercice dans le forum du supérieur car dans mon lycée on ne suit pas le programme, on étudie des choses post bac dès la seconde