Approximation des racines de polynômes de degrés élevé

[erff]

Bonjour,

Suite à l'étude d'un problème concret j'arrive à une équation polynomiale de degrés 3 (et une autre de degrés 4), et je sais que j'ai un terme qui est faible devant 1. J'aimerais savoir s'il était possible de donner un développement limité des racines (en fonction du terme petit) sans passer par les méthodes de résolution compliquées type Cardan etc...
Voici le polynôme en X, Theta est la variable "petite" devant 1, A et B sont des coefficients constants (je ne connais pas leurs valeurs numériques).

On remarque que pour Theta = 0, on peut factoriser le polynôme et trouver simplement ses racines. Mais comme je sais que Theta << 1 puis-je trouver le développement limité à l'ordre 2 en theta des racines, sans passer par la résolution exacte mais en me basant sur la résolution du cas Theta=0 ?

Merci et bonne soirée !
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[erff]

Re !

Bon j'ai réfléchi, j'ai quelques pistes, je voudrais savoir si c'est mathématiquement acceptable :
- J'ai cherché les racines sous la forme où est la racine dans le cas et où on suppose

- J'injecte tout ça dans mon équation (connaissant déjà r0), et je développe limite les termes en à l'ordre 1 histoire de me retrouver avec une expression simple de en fonction de et . Après coup je vois bien que est très inférieur à r0 ... donc ça me paraît pas trop idiot.

Question : Est-ce que c'est mathématiquement acceptable ?

[invite76543456789]

Salut!
En fait ce que voudrais utiliser c'est une certaine regularité de la fonction qui associe les racines aux coefficients.
C'est effectivement une fonction assez regulière mais il faut faire un peu attention parce qu'il n'est pas forcement tres evident de la definir (et d'une certaine manière ca fait appel a la notion de revetement ramifié si on veut aller au fond des choses.)
Si tu t'assure que dans une petite variation de ton paramètre le polynome reste scindé a racine simple c'est bon (enfin y a quand meme une difficulté meme dans ce cas là, c'est qu'il n'y a pas de facon naturelle de numéroter les racines d'un polynomes), apres si tu veux rendre ca parfaitement rigoureux il faut un petit peu de travail.

[erff]

Re !
Merci pour ces précisions.

En fait ce que voudrais utiliser c'est une certaine regularité de la fonction qui associe les racines aux coefficients.

Je pense que tu viens de formuler précisément l'hypothèse que je veux exploiter.

Vu que c'est issu d'un pb concret, je sais que mon polynôme ne peut être que scindé quel que soit theta "pas trop grand" (en fait c'était sin(theta) à la base). Parmi les racines, il y a une solution physiquement inacceptable (car X est en fait un cosh(***) et *** ne peut être nul), et 2 autres qui résultent grosso-modo de l'intersection d'une ellipse et d'une droite. Parmi ces 2 là, celle qui m'intéresse est la + grande des 2. Comme je sais que theta est faible, je peux considérer que l'ordre des racines restera le même (j'espère) donc je me focalise sur la racine qui m'intéresse en oubliant les 2 autres.
Pour info, la solution que je trouve est de la forme r = r0 + K*theta^2 où K est de l'ordre de 0.1, et r0 > 1. Donc je respecte bien mon hypothèse initiale sur epsilon.

Mon but est d'avoir un modèle qui marche : c'est un pb de dimensionnement de transformateur donc si les justifications mathématiques ne sont pas parfaites, ce n'est pas très dramatique. J'ai déjà fait bcp d'approximation pour passer du modèle réel au modèle physique, donc je peux encore faire des sacrifices pour passer du modèle physique à la résolution mathématique, tant que ce que je fais n'est pas insensé : on n'aime pas les équations compliquées en techno.
Je veux surtout être sûr que je ne suis pas dans les choux, et que ce genre "d'astuce" ne fasse pas bondir mes interlocuteurs (qui ne sont pas mathématiciens fort heureusement).

Merci encore

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite76543456789]

Effectivement dans ce cas alors pas de probleme tu peux utiliser ton approximation (note qu'en fait tu as deja implictement utilisé un approximation en remplacant ton sin(theta) par ton theta, tu utilise sans le dire la continuité des racines en fonctions des coefficients) si tes racines sont disjointes a theta=0 elle resteront dans des petites boules disjointes pour des variations pas trop grande de theta. Dans ce cas la pas de probleme, choisi une numérotation (arbitraire) de tes boules et tu as une fonction d'un petit intervalle de R dans la réunion de ces trois boules, et tout se passe bien.