Etudes de fonction

invite7e755eaa · 01/01/2013, 14h08

Pouvez m'aider sur cet exercice et merci d'avance.

EX 1:
Soient a et b deux nombres réels tels que a < b et f une fonction definie et bornée sur [a;b].
Pour tout x de [a;b] on definit la fonction M par
M(x) = sup(f) f(t)
a<=t<=x

Montrer que si f est continue en un point x0 de [a;b] et si f(x0) < M(x0) alors il existe un intervalle
ouvert non vide ]c;d[ contenant x0 sur lequel la fonction M est constante.

invitef3414c56 · 01/01/2013, 15h24

Bonjour,

Pour $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ posez $\text{[math]}$ .

Montrer d'abord que vous avez $\text{[math]}$ (ce qui est facile).

Ensuite, en supposant $\text{[math]}$ (il vous faudra regarder les cas particulier $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ) tel que $\text{[math]}$ , choisissez $\text{[math]}$ petit tel que $\text{[math]}$ et utiliser la continuité pour en déduire qu'il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ et tel que l'on a pour tout $\text{[math]}$ vérifiant $\text{[math]}$ , l'inégalité $\text{[math]}$ .

Pour y tel que $\text{[math]}$ , quelle majoration en déduit-on pour $\text{[math]}$ ? Que vaut alors $\text{[math]}$ ? (puis faire essentiellement la m\^eme chose pour $\text{[math]}$ ).

Cordialement

invite7e755eaa · 01/01/2013, 16h12

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