nature point stationnaire... sans dérivé !

[invite159cf21f]

Bonsoir à tous et à toutes,


Je suis devant un problème sur une famille de courbe paramétré (dite de Rosillo), et bien entendu je ne vais pas vous demandez de me faire tous l'exercices, mais une question me bloque...


on me demande de trouver la nature d'un point stationnaire et il est rajouté à coté de la question que l'ont peut s'en sortir sans dérivé 2 fois.
je vous donne quand même les données pour répondre à la question:
les questions précédente m'ont permit de trouver:

x(t) = a.cos(t)

y(t) = [ (b - a.cos(t)) / (1 - cos(t)) ]. sin(t)

avec a un réel strictement positif et b un autre réel et on sait b = k.a avec k un réel différent de 1

il était demander ensuite de prouver que une seul valeur de k faisait que la courbe paramétré admet un point stationnaire.
Pour cela j'ai dérivé:

x'(t) = - a.sin(t)

y'(t) = (1 - cos² (t) ) (a-b) / (1 - cos (t))²) + (b.cos(t) - a.cos² (t) ) / (1 - cos(t) )

et je trouve donc k = -1 (les deux dérivés s'annulent en t= pi si k = -1)

et c'est ici qu'on me demande de trouver la nature du point stationnaire sans dérivé deux fois...

je ne vois pas comment faire autrement, surtout que des développement limité ici ne me semblent vraiment pas appropriés !


Merci d'avance pour vos réponses !
Bonne soirée (et Bonne Année ! )
-----

[invite159cf21f]

J'ai oublier de précisé que l'intervalle d'étude est [0;pi]

désolé pour ce double post...

[invite6cc88f91]

Bonsoir,

Tu as réduit l'étude à l'intervalle [0,Pi] car x et y sont 2*Pi-pèrodiques et y est impaire. Donc tu complètera le tracé par une symétrie par rapport à (Ox).
Le point stationnaire est obtenu en t=Pi, et le point (x(Pi),y(Pi))=(a;0) est sur cet axe de symétrie. Avec un petit dessin rapide, tu verras que cela impose la nature du point stationnaire, puisque tu doit retrouver la symétrie d'axe (Ox) dans ce dessin.

[invite159cf21f]

Bonjour,


Merci je pense avoir compris et effectivement cela impose un point de rebroussement de 1ère espèce ! j'étais partis dans cette direction mais je n'avais pas pensé à utilisé le fait que l'ont àune symétrie par rapport à (Ox)

simplement, x(pi)= -a et non pas à a mais ça ne change rien pour cette question.

merci en tout cas !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6cc88f91]

C'est exact!