Hello !
J'ai un exercice à rendre la semaine prochaine mais je peine . Est-ce que vous pourriez m'éclairez pour la démarche à suivre svp ?
Soit f : (x,y,z) -> ln (2x+y-2) - 2xz^2 + 4yz -5y +5
1. Donner l'ensemble du lequel f admet des dérivées partielles d'ordre 2 continues
2. Montrer que (1,1,1) est un point stationnaire de f
3. Déterminer la nature du point stationnaire
Merci du temps consacré à mon problème
1.Il suffit de calculer les dérivées partielles secondes (il y en a 9, 3 dérivées partielles d'ordre 1 par rapport à x, y et z, puis chacune doit être à son tour dérivée par rapport à x, y et z...), et trouver l'ensemble où elles sont continues.
2.Un point stationnaire est un point où le gradient s'annule, il suffit donc de le calculer et montrer qu'en (1,1,1) il vaut 0.
3.Un point stationnaire peut mais ce n'est pas obligatoire être un extremum (c'est à dire maximum ou minimum de la fonction). Pour le savoir, il faut calculer la matrice Hessienne, si toutes ses valeurs propres sont positives, c'est un minimum, sinon si ses toutes valeurs propres sont négatives, c'est un maximum, il peut y avoir d'autres cas (différents signes pour les valeurs propres) mais je ne crois pas que ce sera le cas dans un exercice "simple".
Salut,
1) A partir d'un calcul des dérivées partielles d'ordre 2, tu peux voir celles qui sont continues.
2) Il faut que tu cherches les points où les dérivées partielles d'ordre 1 de f s'annulent, ce qui revient à résoudre le système,
3) Tu calcules la matrice hessienne en les points stationnaires de f, et tu vois si elle est définie positive (minimum local), négative (maximum local) ou ni l'une ni l'autre (point selle).
EDIT: Oups je n'ai pas vu le message de Linkounet quand j'écrivais le mien.
Dernière modification par jinmu ; 13/07/2012 à 15h10.
Merci beaucoup ! Si ça vous ennuie pas je fais la suite ici et dites moi si ça vous à l'air correct ou non...
1. Donc on fait la dérivée partielle d'ordre 2 de "Soit f : (x,y,z) -> ln (2x+y-2) - 2xz^2 + 4yz -5y +5"
dérivée première de x -> (2/2x+y-2)-2z^2
dérivée seconde de x -> -2/(2x+y-2)^2
dérivée première de y -> 1/(2x+y-2) +4z-5
dérivée seconde de y -> 1/(2x+y-2)^2
dérivée première de z -> -4z
dérivée seconde de z -> -4
Jusque là c'est bien correct ? Et pour la suite, pouvez-vous m'aider svp ?
2. (2/2x+y-2)-2z^2 = 0 -> Faut-il calculer pour chaque dérivée première la valeur de x, de y et de z ? Désolée, je suis un peu (beaucoup) larguée
3. Pour la matrice hessienne comment fait-on à trouver les points ? Je suis désolée mais je sèche complètement.
Merci encore
Pouriais tu m aider sur l intégrale de x*arxtan(x)?
