Exercice Matrice L3

[invite3309cc26]

Bonjour, je me présente je m'appelle Mathias et je suis en License de Génie Civil. Comme pour beaucoup sûrement mes examens approchent très vite et je bloque sur une annale de Maths, si quelqu'un peux m'aider ça serait top!
Voilà l'énoncé:

On considère la matrice A de dimension 2x2, avec trace(A)=1 et det(A)=-2.
On note y1 et y2 les 2 valeurs propres de A, avec y1<y2.

Soit v1=(cos(Ó) sin(Ó))^T et v2=(sin(Ó) -cos(Ó))^T les 2 vecteurs propres associés à y1 et y2.
est un réel quelconque donné.
On définit la matrice U=(u_{i j}) (avec: i indice des lignes et j indice des colonnes) de dimension 2x2 formée par les colonnes des vecteurs propres v1 et v2.

1) calculer les 2 valeurs propres y1 et y2, avec y1<y2.
2) calculer le produit matriciel U^TAU et U^TU.
3) calculer en fonction de la matrice A.


Je suis complètement bloqué, cet exercice est complètement l'envers de ce qu'on fait d'habitude! Je pense uniquement pouvoir faire la question 2 pour le moment.




Merci d'avance!
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[invite332de63a]

Bonjour la question 1 n'est pas bien compliquée. Comment exprimer la trace et le déterminant de la matrice à partir de ses valeurs propres?

[invite3309cc26]

je viens de trouver sur internet que le produit des valeurs propres = le déterminant et que la somme = la trace.
donc du coup j'ai 2 équations:
y1+y2=1 --->y2=1-y1
y1*y2=-2 <-> y1(1-y1)=-2
<-> -y1²+y1+2=0 le je fais Delta==b²-4ac et je trouve comme solution -1 et 2. Cela vérifie bien mes 2 équations.
Ce sont bien mes valeurs propres du coup?

Merci pour l'aiguillage !

[invite3309cc26]

Par contre, est il nécessaire de calculer les termes de la matrice pour la question 2, et si oui comment faire?


Merci!

[A voir en vidéo sur Futura]